Límites y continuidad

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Conceptos preliminares
Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la
primera le asigna un único valor de la segunda.
Si A y B son dos conjuntos, que llamaremos conjunto inicial y conjunto final,
respectivamente, una función, f, de A en B, f: A →B,relaciona cada elemento de A con un
único elemento de B. Si a ∈ A estárelacionado con b∈ B se escribe f(a) = b y se dice que
b es la imagen de a y que a es la antiimaxe de b.
Se llama dominio de una función f, y se representa por Dom(f), al conjunto formado por
los elementos de A que tienen imagen:
Dom(f) = {x∈ A / f(x) ∈ B}
Un elemento cualquiera del conjunto Dom(f) se representa por la letra x y se denomina
variable independiente. Cada elemento x de Dom(f) tienepor imagen, mediante la
función f, un elemento de B que se representa por y, que es la variable dependiente. Esto
se expresa escribiendo y = f(x).
Se llama recorrido o imagen de una función, se representa por Im f, al conjunto
formado por las imágenes de los elementos del dominio
Im f ={f(x) / x ∈ Dom(f)}
Si en una función el conjunto inicial y conjunto final están formados por números reales,entonces se dice que es una función real de variable real, f: R→R,
f: D ⊂ R→R
x→y=f(x)
La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su
comportamiento. El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función
recibe el nombre de grafo o gráfica de la función. Para obtener los pares basta con dar
valores a la variable independiente x, y obtenerlos correspondientes de la variable
dependiente y, formando así una tabla de valores de la función. Una vez obtenidos los
pares de números, se representan en un sistema de ejes cartesianos, que consiste en dos
ejes perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen de coordenadas, y
representado por O ; el eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas, y en él se
representan los valoresde la variable independiente; el eje vertical recibe el nombre de
eje de ordenadas, y en él se representan los valores de la variable dependiente. Cada par
de números corresponde la un punto del plano. Uniendo todos los puntos, se obtiene la
gráfica de la función.

b = f(la)

Funciones elementales
1. Funciones polinómicas: Tienen por expresión algebraica un polinomio, es decir:
f(x) = anxn +an-1xn-1 + … + a1x + a0
El dominio de cualquier función polinómica siempre es R, Dom(f) = R
Dentro de las función polinómicas tienen especial importancia las funciones lineais y las
funciones cuadráticas.
1.1 Función lineal: Tiene por expresión y = f(x) = mx + n, (en sentido estrico, cuando n ≠
0, se llamaría función afín)
• Su gráfica es una recta, que por el origen si n es 0
• m es la pendiente dela recta, tangente del ángulo que forma la recta con la parte
positiva del eje de abscisas
• n es la ordenada en el origen, es el punto donde la gráfica corta al eje de
ordenadas
• Se m = 0, se reduce a y = n, se trata de una función constante cuya gráfica es una
recta horizontal
• Dos rectas que sean paralelas tienen la misma pendiente
• Se dos rectas son perpendiculares, sus pendientes verificanque m1 = -1/m2
• Las rectas verticales, paralelas al eje de ordenadas, tienen por ecuación x = a, y no
son funciones
1.2 Función cuadrática: Tiene por expresión un polinomio de segundo grado,
y = f(x) = ax2 + bx + c
• Su gráfica es una parábola con eje de simetría paralelo al eje OY
• Si a>0,la parábola es convexa (“abre hacia arriba”) y si a<0 la parábola es cóncava
(“abre hacia abajo”)
• Cortaal eje OX en las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0
• Corta al eje OY en el punto (0,c)
• Vértice será el punto V(Vx, Vy), con Vx = -b/2a ,y para calcular Vy se sustitue Vx en la
expresión de la función
• Eje de simetría es la recta x = -b/2a
Ejemplo: y = x2 – 2x -3

2. Funciones racionales: Su expresión alxébrica es el cociente de dos polinomios
P( x)
y = f(x) =
Q( x)
El dominio de una...