Límites y derivadas

ÍNDICE
1. Concepto de límite
2. Propiedades de los límites
3. Definición de continuidad
4. Tipos de continuidad
5. Concepto de derivada
6. Tabla de derivadas
7.Crecimiento y decrecimiento
8. Máximos y mínimos
9. Concavidad y convexidad
10. Puntos de inflexión
11. Representación gráfica de funciones
Idea de límite de unafunción en un punto : Sea la función y = x2 . Si x tiende a 2 a
qué valor se aproxima y :
x → 21'8
1'9
1'99
1'999
y→
3'24
3'61
3'9601
3'996001
x → 2+
y→

2'24'84

2'1
4'41

2'01
4'0401

2'001
4'004001

Luego cuando x se aproxima a 2 , tanto por la derecha como por la izquierda los
valores de y se acercan cada vezmás a 4 . Esta idea se suele expresar así :
lim x 2 = 4
x →2−
(límite lateral por la izquierda)
2
lim x = 4
x →2+
(límite lateral por la derecha)
Cuando el límitepor la derecha y por la izquierda existen y son iguales se dice
que existe límite en ese punto y es :
lim x 2 = 4
x →2

Si los límites laterales en x = x0 sondistintos entonces f no tiene límite en ese punto .
Definición intuitiva de límite : dada una función f , el límite de f cuando x tiende a x0
es el valor al que se aproximanlas imágenes mediante f de los puntos x cuando éstos
se aproximan al valor de x0 .
Definición matemática de límite : una función f tiene límite l cuando x tiende a x0si es posible conseguir que f(x) esté tan próximo a l como se quiera al tomar x
suficientemente próximo a x0 ( tanto como sea necesario ) pero siendo x ≠ x0 .
Decir que"f(x) se aproxima a l tanto como se quiera" equivale a decir que la distancia
de f(x) a l es menor que cualquier valor ε por pequeño que este sea , es decir /f(x)- l/