Límites

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FUNDAM ENTO S DE ELECTRÓ NI CA
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En esta parte vamos a introducir el concepto de límite de una función en un punto mediante gráficos y tablas de valores de las funciones. También se verán casos en los cuales los límites no existen.

PRO F.RO DRI VERGARA RO JAS,M g.I GO ng.
PRIMER SEMESTRE 2005
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A medida que tomamos valores de x más próximos a 3, tanto para valores mayores que tres como para valores menores que 3, los valores de f(x) se aproximan a 12.

Aún cuando la gráfica presenta una ruptura (hueco) en el punto (2,4), las imágenes de valores de x muy cercanos a 2 son muy cercanas a 4. También una tabla de valores utilizando valores de x próximos a 2 tanto por la izquierda(menores que 2) como por la derecha (mayores que 2), nos convence de esa situación.

3

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fx
En su gráfica vemos que por la derecha de 0 las imágenes son 1, mientras que por la izquierda de 0 las imágenes son -1, la gráfica presenta un "salto" y entonces las imágenes no se acercana un mismo valor. Podemos ver que el límite no existe.

1 x

A medida que nos acercamos a 0 por la derecha, la gráfica de la función "sube ilimitadamente" sin aproximarse a ningún valor en particular. Si vamos por la izquierda de 0, la gráfica de la función "baja ilimitadamente'' y tampoco se aproxima a ningún valor en particular. La tabla también indica esa tendencia

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En loscuatro ejemplos tenemos un valor dado de x (es decir un valor de x previamente fijado) digamos x = c y, luego, consideramos valores de x cada vez más próximos a c, tanto valores mayores que c (por la derecha) como valores menores que c (por la izquierda). Esta situación se expresa diciendo que x tiende a c y simbólicamente se indica por :

En los ejemplos 01 y 02, a medida que nos aproximamos alvalor dado de x, no importa si lo hacemos por la izquierda o por la derecha, los valores de f(x) se van aproximando a un valor fijo L. Decimos en este caso que f(x) tiende a L y escribimos:

fx

L

La situación completa se expresa así:"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L“. Simbólicamente se escribe

lm f x = L i
Ejemplo 01)
x →c

Ejemplo 02)

lm x + 3 = 12 i
2
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x →3 x 2 −4   =4 lm  i x →2  x − 2   

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En el ejemplo 03 tenemos una situación diferente. En este caso, cuando x tiende a 0 por tiende por la derecha entonces g(x) tiende a 1, pero cuando x tiende a 0 por la izquierda se tiene que g(x) tiende a -1. En estas circunstancias sedice que el límite de g(x) cuando x tiende a 0 no existe. Es decir:

En el ejemplo 04 tampoco existe el límite de f(x) cuando x tiende a 0, porque la tabla no presenta tendencia hacia ningún valor fijo sino que las imágenes crecen o decrecen sin límite a medida que aproximamos x a 0. Esto es:

x  lm   no exi e i   st x →0 x  

lm  i x →0

1  st  no exi e x 
10

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x →4lm f x = 1 i

lm f x = 1. i 5
Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si a medida que x se acerca a c, ya sea por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a L. Esto se escribe:
x →2

f(x)

lm f x = 1 i
x →1

lm f x = 2. i 5
x →6 x →3

x →c
La situación anterior también se puede escribir como f(x) → L cuando x → c.
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lmf x no exi e i st

lm f x no exi e i st
x →4
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1) El límite de f(x) cuando tiende a c puede existir aún cuando f(c) no exista.
En el ejemplo 02, a pesar de que f(2) no existe:

i 3) Puede ser que tanto lm f x →c existan pero no sean iguales.
En el ejemplo 05, f(2) = 2.5 y:...