Límites
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Publicado: 1 de octubre de 2015
Límites
Límites por definición
Calcular un límite por definición significa encontrar una diferencia entre f(x) y L (es decir, f(x)-L), dado que x está cerca de c,pero no es igual a c. Gráficamente, puede verse de la siguiente manera : Esta diferencia entre f(x) y L tiene que ser menor a un valor que llamaremos ε. Así, aseguramosque dentro de este rango de valores esté el límite. Para ello, se tendrá otro valor llamado δ, que da el rango en el cual se encuentra x cuando tiende a c.
Definiciónε>0 ∃ δ>0 /si 0
•
ε>0 :Para todo épsilon mayor que cero
•
∃ δ>0:
Existe un delta mayor que cero
•
/:Tal que
•
si 0
⟹fx-L<ε :
Entonces esto también se cumple.
¿Cómo se demuestra un límite por definición?El objetivo de la demostración es hallar un valor para δ (que usualmente depende de ε, por ejemplo, δ
=3ε). Esto se hace primero partiendo de
fx-L
y desarrollandoesta expresión matemáticamente hasta que se asemeje a x-c. Tomemos el siguiente ejemplo para ilustrar una demostración: Demostrar que limx→23x-2 es igual a 4Partimos defx-L , que en nuestro caso es 3x-2-4, y queremos llegar a algo similar a x-2ε>0 ∃ δ>0 /si 0
ejemplo 1) Aplicando la definición de límite, probarque:
Para comprobarlo vamos a tomar un ε=0,01.
Entonces cualquier punto que pertenezca a este entorno tiene que tener su imagen en el entorno:
Para x=0.995 f(x)=(0.995 + 3)/2=1.9975.
Para x=1.015 f(x)=(1.015 + 3)/2=2.0075.
Ejemplo 2)
Aplicando la definición de límite, probar que:
tiene límite -1 cuando x 0
Límites
Límites por definición
Calcular un límite por definición significa encontrar una diferencia entre f(x) y L (es decir, f(x)-L), dado que x está cerca de c,pero no es igual a c. Gráficamente, puede verse de la siguiente manera : Esta diferencia entre f(x) y L tiene que ser menor a un valor que llamaremos ε. Así, aseguramosque dentro de este rango de valores esté el límite. Para ello, se tendrá otro valor llamado δ, que da el rango en el cual se encuentra x cuando tiende a c.
Definiciónε>0 ∃ δ>0 /si 0
•
ε>0 :Para todo épsilon mayor que cero
•
∃ δ>0:
Existe un delta mayor que cero
•
/:Tal que
•
si 0
⟹fx-L<ε :
Entonces esto también se cumple.
¿Cómo se demuestra un límite por definición?El objetivo de la demostración es hallar un valor para δ (que usualmente depende de ε, por ejemplo, δ
=3ε). Esto se hace primero partiendo de
fx-L
y desarrollandoesta expresión matemáticamente hasta que se asemeje a x-c. Tomemos el siguiente ejemplo para ilustrar una demostración: Demostrar que limx→23x-2 es igual a 4Partimos defx-L , que en nuestro caso es 3x-2-4, y queremos llegar a algo similar a x-2ε>0 ∃ δ>0 /si 0
ejemplo 1) Aplicando la definición de límite, probarque:
Para comprobarlo vamos a tomar un ε=0,01.
Entonces cualquier punto que pertenezca a este entorno tiene que tener su imagen en el entorno:
Para x=0.995 f(x)=(0.995 + 3)/2=1.9975.
Para x=1.015 f(x)=(1.015 + 3)/2=2.0075.
Ejemplo 2)
Aplicando la definición de límite, probar que:
tiene límite -1 cuando x 0
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