Líneas y puntos notables de un triangulo

Líneas y puntos notables de un triangulo

Introducción:

Lo que hablara este trabajo es sobre las rectas y puntos interlineales de un triangulo.
Que es sobre la mediana que es el segmento de la recta que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto de un triangulo. el punto de intersección de las medianas se llama Baricentro. El baricentro esta a un tercio del lado y a dostercios del vértice medido sobre la mediana, es el centro de gravedad del triángulo.
La Bisectriz interior que es el segmento de la recta que biseca el ángulo interior de un triangulo y llega hasta el lado opuesto. El punto de intersección de las bisectrices se llama Incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita.
La mediatriz que es la recta perpendicular en el punto medio de cada lado deltriangulo. El punto de intersección de las medidas se llama circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita.
La altura que es el segmento perpendicular trazada dede un vértice al lado opuesto, o la prolongación del mismo. El punto de intersección de las alturas de llaman ortocentro.

Bisectriz:
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales. Esel lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia de las semirrectas de un ángulo.
Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados del ángulo.
Dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y sus bisectrices se cortan conformando ángulos rectos ente ellas.

En la figura, la bisectriz del ángulo xOy  es zz', y la del ángulo x'Oy es ww'. Se cortan formandoun ángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud dexOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la amplitud del ángulo xOx' = 180º, es un ángulo plano. Luego zOw mide  a + b = 90º.
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferenciainscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Propiedades de un triangulo inscrito:
Considere el triángulo ABC y la circunferencia circunscrita. La mediatriz MN, del lado BC corta el arco BMC en su punto medio. Como el ángulo inscrito BAC subtiende dicho arco, los ángulos BAM y MAC son iguales y la recta AM resulta ser la bisectriz del ángulo BAC. Lasrectas AN y AM son ortogonales, porque el lado MN del triángulo AMN es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. La recta AN es bisectriz del ángulo exterior al triángulo ABC en el vértice A.
La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersecan sobre la circunferencia circunscrita
Esto se usa en la discusión dela circunferencia de los nueve puntos.

La mediana:
Las medianas de un triángulo son, cada uno de los tres segmentos de recta, que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto.

Las medianas tienen las siguientes propiedades:
* Cada mediana divide al triángulo en dos regiones de igual área, por ejemplo para el caso de la mediana AI (véase la figura) dichas regiones son los dostriángulos ΔABI y ΔACI de igual área.
* Las tres medianas se intersecan en el baricentro, centro de gravedad del triángulo o centroide, marcado como G en la figura.
* Dos tercios de la longitud de cada mediana están entre el vértice y el baricentro, mientras que el tercio restante está entre el baricentro y el punto medio del lado opuesto.
* Para cualquier triángulo (euclidiano) con lados a,b,c,medianas ma,mb,mc y perímetro p, se cumple la siguiente desigualdad:2

* Para cualquier triángulo (euclidiano) con lados a,b,c y medianas ma,mb,mc, la suma de los cuadrados de las medianas es igual a ¾ de la suma de los cuadrados de sus lados:

Cada una de las tres medianas de un triángulo pasa por el centroide del mismo, el cual es coincidente con el centro de gravedad de un objeto...