Lógica borrosa o difusa

Fundamentos de la Lógica borrosa

Fundamentos
• Lógica borrosa: Basada en el concepto de conjunto borroso • 1965: Lotfi A. Zadeh, profesor de Universidad Berkeley, California • Conjuntos borrosos: Son aquellos en que la transición entre la pertenencia y la no pertenencia es gradual y no abrupta. Cada elemento tiene un grado de pertenencia a un conjunto borroso definido a través de la funciónde pertenencia

Fundamentos
• Principio de incompatibilidad (Zadeh, 1973): “Informalmente, la esencia de este principio está en que cuando la complejidad de un sistema aumenta, nuestra capacidad para efectuar precisas y significativas sentencias sobre su comportamiento disminuye hasta que se alcanza un determinado umbral, a partir del cual precisión y significación (relevancia) se conviertenen mutuamente excluyentes”.

Lógica borrosa vs. Lógica tradicional
1

10
Baja

20
Media

30
Alta

40

Temperatura

1

¡Mi nieta tiene fiebre!
10
Baja

20

Media

30

Alta

40

Temperatura

Función de pertenencia

Función de pertenencia

  x  a 2   ( x)  exp      b     

Soporte

Funciones de pertenencia
Triangular
1  (a  x) /  A( x)  1  ( x  a) /  0  si si a   x  a a xa en otro caso

Trapezoidal
1  (a  x) /  1  A( x)   1  ( x  b) /  0  si si si a   x  a a xb b x b en otro caso

Funciones de pertenencia
Matlab: >> mfdemo
1.2 trapmf 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 gbellmf trimf gaussmf gauss2mf smf

zmf 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

psigmf

dsigmf

pimf

sigmf

.

Función depertenencia singleton
Singleton o punto borroso Sea A una función de pertenencia, si sop(A)={x0} entonces A es un singleton y se usa la notación  A  x0

.

Dos conjuntos en un universo
Unión

 A  B x   maxAx , Bx   Ax   Bx  , x  X
Intersección

 A  B x   min Ax , Bx   Ax   Bx  , x  X
Solape

.

Lógica de conexión
Lógica de conexión y o normatriangular T Satisface las siguientes propiedades:

T(x, y)=T(y, x) T(x, T(y ,z))=T(T(x, y), z)

Simetricidad Asociatividad

T ( x, y )  T ( x' , y' ) si x  x' y también y  y'
Monotonicidad
T ( x,1)  x, x  0,1

Identidad unitaria

.

Lógica de conexión y
MIN PANDA LANDA

.

Lógica de conexión y
Mínimo
Lukasiewicz

MIN(a, b) = min{a, b}
LANDA(a, b) = max{a+b-1, 0}Probabilística Weak
Hamacher Dubois y Prade

PANDA(a, b) = ab
min{a, b} si max{a, b}  1 WEAK (a, b)   de otra forma 0

ab HANDA (a, b)  ,  0 (  (1   )(a  b  ab))
DAND (a, b)  ab ,   (0,1) max{a, b, }

Yager

YAND p (a, b)  1  min{1, (1  a )  (1  b)



p

p 1/ p



}, p  0

Intervalos de la lógica de conexión y
.

MIN

WEAK

.

Lógicade conexión o
Máximo MAX(a, b) = max{a, b}

Lukasiewicz
Probabilística Strong Hamacher

LOR(a, b) = min{a+b, 1}
POR(a, b) = a+b - ab
max{a, b} si min{a, b}  0 STRONG(a, b)   de otra forma 1

a  b  (2   )ab HOR (a, b)  ,  0 (1  (1   )ab)

Yager

YOR p (a, b)  min{1, a p  b p }, p  0

p

.

Lógica de conexión o
Lógica de conexión o o co-norma T LOR

MAX PORIntervalos de la lógica de conexión o
.

STRONG

MAX

.

Variable lingüística

Variable lingüística: Variable cuyos valores son palabras o

sentencias pertenecientes al lenguaje natural o artificial, la cual se caracteriza por el siguiente cuádruple:

{ X, T(X), U, G }
Nombre de la variable lingüística Conjunto de términos (valores lingüísticos) definidos en X Funciónsemántica que da un “significado” (interpretación) a una variable lingüística en función de los elementos a los que x representa Dominio físico real sobre el que están definidos los valores que se aplican a la variable lingüística

.

Ejemplo de variable lingüística

{ X, T(X), U, G }
•V= Velocidad •T(V)= {Baja, Moderada, Alta} •U=[0, 150] km/h •G:
 2v  0 1 Baja   150 0  para para...