Lógica de predicados

LÓGICA DE PREDICADOS

La estructura de una proposición contiene información que se analiza como un todo, sin considerar sus partes o componentes.
Con las proposiciones no se pueden representar matemáticamente ciertas estructuras deductivas, por ejemplo:
“ Todos los hombres son mortales
Sócrates es hombre
Por lo tanto, Sócrates es mortal ”

En la lógica proposicional, estaestructura deductiva tendría la siguiente representación formal:
T: Todos los hombres son mortales
R: Sócrates es hombre
SM: Sócrates es mortal

T ۸ S → SM

Al aplicar las reglas de inferencia, las equivalencias e implicaciones a las premisas anteriores, la conclusión SM no se puede deducir lógicamente de ellas. Por esta razón, no puede detectarse la relación entre las premisas y laconclusión.

Para tratar matemáticamente este tipo de estructuras deductivas es preciso crear una teoría que no tome como base la simbolización de la proposición de la premisa total, sino la de sus componentes.

Qué se afirma PREDICADO
De quién o quienes se afirma SUJETO, OBJETO O TERMINO
Al conjunto de términos u objetos se le llama dominio.

Para simbolizar un predicado seutilizan letras mayúsculas y para simbolizar sujetos se utilizan letras minúsculas entre paréntesis.
Ejemplos:
Sócrates es mortal
Qué se afirma (Predicado): es mortal
De quién se afirma (Sujeto): Sócrates
M: es mortal s: Sócrates
M(s): Sócrates es mortal

Las funciones proposicionales pueden ser de una o más variables:

Predicado = Q: es menor que
Sujetos = x, y
Q(x, y): “x”es menor que “y”

Predicado = R: se encuentra entre
Sujetos = x, y, z
R(x, y, z): “x” se encuentra entre “y” y “z”

Los predicados no son, en si mismos, verdaderos ni falsos; eso los hace diferentes de las proposiciones. A la lógica de predicados también se le conoce como: Función proposicional simple.

Un predicado se convierte en proposición cuando se convierte la variable “x”(elemento del dominio) por un término particular o un conjunto de términos y la proposición así formada es verdadera o falsa dependiendo de las características definidas por el predicado. Ejemplo:
Q(x, y): “x” es menor que “y”

Al sustituir “x” y “y” por un valor en particular se vuelve proposición: Q(2, 3): “2” es menor que “3”

Una función proposicional puede ser:
• Simple: si no contieneconectivos lógicos.
M(s) Q(x, y)

• Compuesta: cuando en ella aparecen conectivos lógicos.
Q(x, y) ۸ R(x, u, v)
“x es menor que y” y “x se encuentra entre u y v”

Para leer el contenido de un archivo se tiene que considerar que el archivo tiene una marca llamada de “fin de archivo”. Se puede decir que para leer un dato es: no estar en la marca de fin dearchivo. Una forma de plantear la condición de lectura sería:
Si x no es la marca de fin de archivo, entonces leer el dato.
Simbolizado:
NF(x): x es la marca de fin de archivo.
L(x): leer el dato x.
Condición:
⌐NF(x) → L(x)
Considerar las siguientes proposiciones:

a) Todo hombre es mortal.
b) Todo árbol tiene un nodo raíz.
c) Todos los programas en Pascal comienzancon la palabra reservada “program”.
d) Cualquier número entero, diferente de cero, es positivo o es negativo.

Estas expresiones se pueden parafrasear de la siguiente forma:

a’) Para toda x, si x es hombre, entonces x es mortal.
b’) Para toda x, si x es árbol, entonces x tiene un nodo raíz.
c’) Para toda x, si x es un programa en Pascal, entonces x comienza con lapalabra reservada “program”.
d’) Para toda x, si x es un número entero diferente de cero, entonces x es positivo o negativo.

Si simbolizamos “para toda x” con V, así las expresiones a), b), c), d) quedarían de la siguiente manera:

H(x): x es hombre; M(x) x es mortal
a’’) V(x) (H(x) → M(x))

AB(x): x es árbol; NR(x): x no tiene un nodo raíz
b’’) V(x) (AB(x) → NR(x))

P(x):...