Lógica de Propocisiones

Simbolización de
proposiciones
Tema 1

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Lógica de Proposiciones
Establecer los fundamentos para la simbolización de
proposiciones lógicas.
Fundamentos de la Lógica Matemática y Lógica Simbólica
Proposiciones. Representación Proposicional
Términos de Enlace y Agrupamiento. Simbolización
Nomenclatura lógica y uso de paréntesis.
Cálculo Proposicional
Simbolización e interpretación desimbolizaciones.

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Lógica de Proposiciones
En este primer tema se hará una breve introducción a los conceptos
generales que se desarrollarán en este apartado.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo
en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como
conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica formal es la ciencia queestudia las leyes de inferencia en los
razonamientos.

FORMALIZACIÓN

LENGUAJE NATURAL → LENGUAJE FORMAL+ REGLAS DE LA LÓGICA +

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APLICACIONES
Álgebra, Cálculo, Matemática Discreta, Electrónica Digital, Teoría de Autómatas
y Lenguajes Formales, Programación, Bases de Datos, etc.

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Proposiciones y Tablas de
Verdad
En el desarrollo de cualquier teoría matemática se hacenafirmaciones en forma de frases y con un sentido pleno. Tales
afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o
proposiciones.

La lógica de proposiciones, la lógica más simple, que
corresponde a la lógica que simboliza y describe razonamientos
basados en enunciados declarativos.
Proposición
Llamaremos de esta forma a cualquier afirmación que sea verdadera o
falsa, pero no ambascosas a la vez.

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Ejemplo 1
Las siguientes afirmaciones son proposiciones.
a)
b)
c)
d)

Gabriel García Márquez escribió Cien años de soledad.
6 es un número primo.
3+2=6
1 es un número entero, pero 2 no lo es.

Observación: Las proposiciones se notan con letras
minúsculas, p, q, r,s. . . La notación p :Tres mas cuatro
es igual a siete se utiliza para definir que p es laproposición “tres mas cuatro es igual a siete”.
Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no
pueden descomponerse en otras.

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Ejemplo 2
Las siguientes no son proposiciones.
a)
b)
c)
d)

x+y>5
¿Te vas?
Compra cinco azules y cuatro rojas.
x=2

Solución
En efecto, a) es una afirmación pero no es una proposición ya
que seria verdadera o falsa dependiendo de los valores de xe
y e igual ocurre con la afirmación d). Los ejemplos b) y c) no
son afirmaciones, por lo tanto no son proposiciones.
Desde el punto de vista lógico carece de importancia cual sea
el contenido material de los enunciados, solamente interesa su
valor de verdad.
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Valor de Verdad
Llamaremos valor verdadero o de verdad de una
proposición a su veracidad o falsedad. El valor de
verdad deuna proposición verdadera es verdad y
el de una proposición falsa es falso.
Ejemplo 3
Diga cuáles de las siguientes afirmaciones son
proposiciones y determine el valor de verdad de
aquellas que lo sean.
a)
b)
c)
d)

p: Existe Premio Novel de informática.
q: La tierra es el único planeta del Universo que tiene vida.
r: Teclee Escape para salir de la aplicación.
s: Cinco mas siete esgrande.
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Solución
a)

b)

c)

d)

p es una proposición falsa, es decir su valor de verdad es
Falso.
No sabemos si q es una proposición ya que
desconocemos si esta afirmación es verdadera o falsa.
r no es una proposición ya que no es verdadera ni es
falsa. Es un mandato.
s no es una proposición ya que su enunciado, al carecer
de contexto, es ambiguo. En efecto, cinco niñas massiete niños es un numero grande de hijos en una familia,
sin embargo cinco monedas de cinco céntimos mas siete
monedas de un céntimo no constituyen una cantidad de
dinero grande.
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Proposición Compuesta
Si las proposiciones simples p1, p2, . . . , pn se combinan para
formar la proposición P, diremos que P es una proposición
compuesta de p1, p2, . . . , pn.
Ejemplo 4 “La Matemática...