Lógica difusa

Propiedadeswww.uv.es/jbosch/ESO/ Simétrica y Transitiva
Simétrica: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento, el segundo también se relaciona con el primero, con símbolos: (x)(  y) (x,y) Є R Є (y,x) Є R
Antisimétrica: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos: ( x)(  y) ((x,y) Є R^ x ≠ y) Є (y,x) ∉ R)
Transitiva: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento y el segundo está relacionado con un tercero, entonces el primero está relacionado con el tercero:(∀ x)(∀ y)(∀ z)((x,y) ∈ R ^ (y,z) ∈ R) → (x,z) ∈ R)
Como podemos ver para que una relación sea simétrica, siempre que un par está en R el par inverso debetambién estar. sin embargo en la antisimétrica si un par está en la relación el par inverso n puede estar.
Nota:Vemos que la definición de antisimétrica se indica que el par inverso no puede estarcuando los elementos son distintos por razones obvias.
Como ejemplo analizaremos las mismas relaciones de la sección anterior:
A = {a,b,c,d,e}
R1 = {(a,a),(b,b),(a,c),(b,c),(c,a),(d,d)}
R2 ={(a,a),(a,d),(c,b),(d,a),(c,e),(e,e))}
R3 = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(b,c),(b,a))}
R4 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(b,e),(c,e),(b,d),(d,a),(e,e)}
R5 = {(a,c),(a,e),(e,c),(b,c)}
R6 ={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(a,e),(b,c),(c,b),(e,a)}
R7 = {(a,b),(b,d),(c,a),(d,e),(e,c),(b,c),(b,a))}
Teorema Una relación R en un conjunto es simétrica si y sólo si los elementos opuestos conrespecto a la diagonal principal son iguales.
Teorema Una relación R en un conjunto es antisimétrica si y sólo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal no pueden ser iguales a 1;esto es, puede aparecer 0 con 1 o pueden aparecer ceros.
De las relaciones anteriores R6 es simétrica. R3, R5 son antisimétricas y R3, R6 y R6 son transitivas.

Relación
R1
R2
R3
R4
R5
R6...