Lógica Difusa

LOGICA DIFUSA
• Lógica bivaluada: cada proposición debe ser verdadera o falsa.
• Lógica multivaluada: infinitos valores.
• En 1965 Lotfi A. Zadeh publicó su trabajó acerca de los
conjuntos difusos, la cual propone que los valores falso o
verdadero operen sobre el rango de números reales.
• Las matemáticas generadas por estas teorías son consistentes
y la lógica difusa puede ser unageneralización de la lógica
clásica.
• La estadística mide la probabilidad que un evento futuro ocurra,
cuando la lógica difusa mide la ambigüedad de eventos que ya
han ocurrido.

CONJUNTOS DIFUSOS
• Un conjunto no tiene límites claramente definidos o precisos.
• La transición de la pertenencia o no-pertenencia de un
elemento, es gradual, y esta transición está caracterizada por
funciones demembresía.
• A = { ( x, µA (x) ) | x  X } 
• donde µA (x) se conoce como la función de membresía
• X es llamado el universo de discurso
• x son los elementos de ese universo

EJEMPLO
• El universo puede tener elementos discretos (ordenados o no
ordenados) o ser un espacio continuo.
• El conjunto difuso A = “números inferiores a 3” se puede
expresar de la siguiente manera:
 
• A = {(x, µA (x) | x  X } , donde µA (x) se puede definir como:
• µA (x) = 1 – (x / 3)

Gra dos de m e m bre sía

1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0

0,5

1

1,5

2

Números inferiores a 3

2,5

3

3,5

INTERSECCIÓN (AND)
•

µC (x) = min( µA (x), µB (x) ) = µA (x)  µB (x)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0

1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0

2

4

6

8

10

1,2
1
0,80,6
0,4
0,2
0
0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

10

1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0

UNION (OR)
• µC (x) = max( µA (x), µB (x) ) = µA (x)  µB (x)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0

1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0

2

4

6

8

10

1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0

0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

101,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0

2

4

6

8

10

COMPLEMENTO (NOT)
• µÃ (x) = 1 - µA (x)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0

1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0

2

4

6

8

10

1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0

0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

10

1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0

2

4

6

8

10

F. M. TRIANGULAR
• Una FM triangular seespecifica mediante tres parámetros { a,
b, c }, de la siguiente forma:

x a
 0,
 x a
, a x b

triángulo ( x; a, b, c)  b  a
c x

, b x c
 c b
 0,
c x
• Utilizando operadores min y max, la expresión anterior se
puede expresar como sigue:


 x a c x 
triángulo( x; a, b, c)  max min
,
,0 
b a c b 


F. M. TRAPEZOIDAL
• Una FMtrapezoidal se especifica mediante cuatro parámetros
{ a, b, c, d }, de la siguiente forma:

x a
 0,
x a
, a x b

b a
trapecio( x; a, b, c, d )  1,
b x c
d  x
 d  c , c x d
 0,
d x

• Utilizando operadores min y max, la expresión anterior se
puede expresar como sigue:


 x  a d  x 
trapecio( x; a, b, c, d )  max min
,1,
,0 
b a d  c 
F. M. GAUSIANA Y TIPO CAMPANA
• Una FM gausiana se especifica con dos parámetros { c,  }; c
representa el centro de la FM y  determina su anchura.

gauss ( x; c, ) e

1  x  c 

 

2   

2

• Una FM del tipo campana generalizada (o FM tipo campana) se
caracteriza mediante tres parámetros { a, b, c }; donde c y a
definen el centro y el ancho de la FM, respectivamente,mientras que el parámetro b controla las pendientes en los
puntos de cruce.

campana( x; a, b, c) 

1

x  c 2b
1
a

FORMAS DE ONDA
• Las FM que se muestran en la figura corresponden a las
definidas por los siguientes valores: triángulo(x; 6, 7, 9),
trapecio(x; 5, 6, 8, 10), gauss(x; 0.7, 3) y campana(x; 1.5, 5, 3).

SINGLETON
• Un conjunto difuso que contiene un único...