lógica y conjuntos


Lógica matemática.
Introducción:
La lógica es una ciencia formal cuyo objetivo es el correcto pensar. Si extendemos este concepto a las matemáticas podemos decir que la lógica es la rama de la matemática que busca aplicar los conceptos de la lógica al campo de las matemáticas. Ya desde la antigüedad clásica los filósofos y los matemáticos se dedicaron a ordenar y a usar correctamente losprocesos de pensamiento que implica el lenguaje matemático.
Para la inteligencia ¿Qué es una proposición lógica?
Una proposición es una oración que tiene un cierto valor de verdad o falsedad. Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez, puesto que la verdad o falsedad son valores de juicio opuestos.
Existen proposiciones que siempre son ciertas, estas proposiciones se llamantautologías, mientras que hay otras que siempre son falsas, a estas se les conoce como contradicciones.
Las proposiciones se denotan con letras minúsculas, normalmente son las letras p, q, r…, por ejemplo, la proposición siguiente se denotaría de la siguiente forma:
p: 16 es el cuadrado de 4.

Para la inteligencia ¿Cuáles son las condicionantes que se derivan de las proposiciones lógicas?
Para queuna oración sea considerada una proposición es indispensable que se pueda asignar un valor de verdad o falsedad, de lo contrario no se puede emitir ningún juicio sobre ella. Además debemos tener en cuenta que existen oraciones cuyos valores de verdad o falsedad son subjetivos, es decir que las opiniones variarán de acuerdo al criterio de quien las valora.
Ejemplo 1.
Indica si las siguientesfrases son verdaderas o falsas:
a) 3 es mayor que 2.
b) -3 es mayor que -2.
c) las matemáticas son fáciles.
d) son las 5 de la tarde.
e) ¡Ahora!
Veamos los valores de verdad de cada oración y si son proposiciones.
El inciso a es una proposición cierta que nos dice que 3 es un número mayor que 2.
El inciso b a su vez es una proposición falsa, puesto que -3 está más alejado del cero en una rectanumérica que el -2.
En el caso del inciso c sí existe una proposición, pero es subjetiva puesto que el valor de verdad o falsedad depende de quien la conteste. Evidentemente las matemáticas son fáciles para quien las estudia con esfuerzo.
El inciso d, también es una proposición subjetiva, su valor de verdad o falsedad depende de la hora a la que se le emita juicio de valor, y solamente esverdadera si se hace dicha proposición a las 5 de la tarde.
Finalmente el inciso e no es una proposición puesto que no hay ningún tipo de juicio a emitir.
Retomemos un poco el inciso a, supongamos que ahora nos plantea lo siguiente:
3 es mayor que 2 y además es un número primo.
En este caso existen dos proposiciones en una sola oración, esta clase de proposiciones se llaman compuestas, mientras quelas proposiciones que sólo tienen un juicio de verdad son proposiciones simples. Las proposiciones compuestas normalmente unen sus elementos con conjunciones como “y” o con disyunciones como “o”.

Para la reflexión ¿Cómo se representan y relacionan las proposiciones lógicas?
Ahora bien, como el lenguaje matemático es un lenguaje simbólico, es decir que se basa en símbolos, podemos plantear denuevo nuestra proposición compuesta de la siguiente forma:
3 es mayor que 2 será la proposición a.
3 es un número primo será la proposición b.
Como las proposiciones a y b se plantean en una sola oración se puede decir que ocurre:
a y b.
Pero a su vez la conjunción “y” tiene el símbolo para denotarla, entonces la proposición compuesta: 3 es mayor que 2 y además es un número primo, se puedeescribir como
Consideremos ahora la proposición compuesta siguiente:
Los números pares son divisibles entre 2 o entre 1.
De nuevo podemos crear dos proposiciones simples a partir de una compuesta:
a) Los números pares son divisibles entre dos.
b) los números pares son divisibles entre uno.
De nuevo podemos identificar ambas proposiciones con letras, usemos ahora a d y a f, la proposición...