Lógica

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION ´ Facultad de Ciencias F´sicas y Matematicas ı

´ ´ Introduccion a la Matematica Universitaria. 520145 ´ Cap´tulo 1. Logica y Conjuntos. ı

FCFM. UdeC.

1.

ACQ/MWC/FLG/AB/LNB/GAC/MSS/ESF.

´ Logica

Conceptos primitivos Los valores de verdad VERDADERO (V ) y FALSO (F ) son los ´ conceptos primitivos de la logica.

´ Proposicion ´ Una proposicion es unasentencia declarativa (que afirma o niega algo de algun sujeto) que posee un unico valor de verdad, pudiendo ´ ´ ser verdadera (V) o bien ser falsa (F). Usualmente se denotan por letras minusculas p, q , r , s, etc. ´
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´ Conectivos logicos ´ Un conectivo logico es un operador que nos permite obtener nuevas proposiciones a partir de otrasdadas. Los conectivos ´ basicos son: ´ • negacion (∼) (“no”) (“y”) (“o”) (“si. . . , entonces”) ´ (“si y solo si”)
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´ • conjuncion (∧) ´ • disyuncion (∨)

• condicional • bicondicional
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(→)
(↔)

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Tipos de proposiciones Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas, vale ´ decir, las que no incluyen conectivos logicos, y lasque s´ los ı incluyen. Valores posibles de dos proposiciones dadas

p V V F F
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q V F V F
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´ Negacion (∼) ´ ´ Dada una proposicion p, se llama negacion de p, y se escribe ´ ∼ p, a la proposicion “no p”. Esto significa que ∼ p es V si p es F , y ∼ p es F si p es V . TABLA DE VERDAD

p V F

∼p F V

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´ Conjuncion (∧) ´ Dadas dos proposiciones p y q , la conjuncion de ellas es la ´ ı proposicion “p y q ”, la cual se escribe p ∧ q . As´, p ∧ q es V si ambas lo son, y p ∧ q es F si al menos una de ellas lo es. TABLA DE VERDAD.

p V V F F
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q V F V F

p∧q V F F F
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´ Disyuncion (∨) ´ Dadas dosproposiciones p y q , la disyuncion de ellas es la ´ ı proposicion “p o q ”, la cual se escribe p ∨ q . As´, p ∨ q es V si al menos una de ellas lo es, y p ∨ q es F si ambas lo son. TABLA DE VERDAD

p V V F F
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q V F V F

p∨q V V V F
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Condicional (→) Dadas dos proposiciones p y q , la condicional de ellas es la ´ proposicion “si pentonces q ”, la cual se escribe p

→ q . Aqu´, p se ı ´ llama antecedente y q consecuente. Tambien, p → q se lee “p es ´ ´ condicion suficiente para q ”, o bien “q es condicion necesaria para ´ p”. As´, p → q es F solo si p es V y q es F . ı

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Condicional (→) TABLA DE VERDAD

p V V F F

q V F V F

p→q V F V V

p V V F Fq V F V F

p↔q V F F V

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Bicondicional (↔) Dadas dos proposiciones p y q , la bicondicional de ellas es la ´ ↔ q . Tambien, ´ p ↔ q se lee “p es condicion necesaria y suficiente para q ”. As´, ı ´ p ↔ q es V solo si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. ´ ´ proposicion “p s´ y solo s´ q ”, la cual se escribe p ı ıFCFM. UdeC.

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Definiciones varias ´ Una proposicion compuesta se dice una:

• TAUTOLOGIA (o TEOREMA LOGICO), si ella es siempre V ,
cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones ´ simples que la componen, es decir, si su tabla de verdad solo contiene valores V .

• CONTRADICCION, si ella es siempre F .
´ • CONTINGENCIA,si no es tautolog´a ni contradiccion. ı
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´ ´ Implicacion logica Dadas dos proposiciones p y q , se dice que p implica

→ q es una tautolog´a. En tal ı caso se escribe p ⇒ q y se lee “p implica q ”.
´ Equivalencia logica ´ Dadas dos proposiciones p y q , se dice que ellas son logicamente

´ ´ logicamente q , si la proposicion p...