L01 DOC Disecciones De Figuras

Disecciones de Figuras
Construcciones con regla y compás
Actualmente se entiende por Matemáticas una amplia variedad de disciplinas: Álgebra, Cálculo
Infinitesimal, Cálculo de Probabilidades, Estadística, .... dentro de las cuales la Geometría ocupa un lugar
destacado aunque no principal. En un principio no era así y era usual identificar Matemáticas y
Geometría. En épocas como la griega, lademostración geométrica era la única posible y la única forma de
razonar sobre un problema era que los pasos que debían darse para su solución pudieran simularse
mediante la utilización de regla y compás.
A base de trazar líneas rectas y transportar distancias mediante un compás se pueden empezar a hacer
construcciones como: Recta paralela a una dada por un punto exterior, Recta perpendicular a unadada por
un punto exterior, División de un ángulo en dos partes iguales, Obtención de un cuadrado de área doble
de uno dado, ......
Cuando aparece el álgebra, siglos después, muchos de estos problemas simplifican su solución y se
resuelven otros que habían permanecido abiertos mucho tiempo. Duplicar el área de un cuadrado dado se
hace equivalente a resolver la ecuación x = 2 , esto es, hallar 2 ,operación que puede hacerse de
forma sencilla con el número de decimales que se precise. De la misma forma, la duplicación del cubo
2

equivale a resolver la ecuación x = 2 , esto es hallar 3 2 que se opera de forma análoga. En el primer
caso la construcción puede hacerse con regla y compás. En el segundo no. Es más, hay que esperar al
siglo XIX para que los trabajos de Abel y Galois demuestren lairresolubilidad del problema de duplicar
el cubo con regla y compás.
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Es claro que la introducción del álgebra que permite asociar las soluciones de un problema con las raíces
de un polinomio y los Métodos Numéricos que permiten hallar las raíces de cualquier polinomio con la
precisión que se desee quitan algo de interés a las construcciones con regla y compás o a los
razonamientos geométricos .Es evidente que se ha perdido el interés práctico pero a costa de perder la
belleza que una demostración geométrica tenía.
Veamos la elegancia de la resolución de los problemas de la disección del ángulo o la duplicación del
cuadrado utilizando exclusivamente regla y compás.
Bisección de un ángulo

Tracemos un círculo con centro O para obtener los puntos M, N. Después trazamos círculos igualescentrados en M y N. El punto de corte P nos da la solución.

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Duplicación de un cuadrado

Trazamos un círculo de centro D y radio la diagonal del cuadrado dado. El punto B’ obtenido a partir de
A’ y C’ da la solución.
Quizá se aprecie mejor la elegancia de una demostración geométrica dando dos pruebas de la conocida
igualdad Sin x + Cos x = 1
2

2

1)
-

La igualdad es cierta para x=0
Derivando lafunción f ( x) = Sen 2 x + Cos 2 x tenemos
f '( x) = 2 Sen x Cos x − 2Cos x Sen x = 0
La función f(x) es pues constante y como f(0)=1 la igualdad queda
demostrada

2

2 ) En el triángulo rectángulo ABC de hipotenusa 1 se tiene

a=1

B

c

x
C

b

A

c = Sen x ; b = Cos x y por el Teorema de Pitágoras sigue la igualdad

El interés práctico de problemas como la duplicación del cuadrado si pensamosen reparto de terrenos es
clara. Otro tipo de problemas como la duplicación del cubo tienen una componente mas lúdica. En un
principio imperaban mas bien consideraciones de tipo místico o religioso
El arquitecto romano Vitrubio ( Siglo I d.c.) cuenta en su obra la fascinación que sentía Platon (427-327)
por dos problemas de enunciados sencillos y que, sin embargo, rompieron las ideas sobre losnúmeros de
la escuela pitagórica. Uno de ellos era el siguiente: dado un cuadrado, ¿cómo construir otro cuadrado con
un área doble?
Se dice que Pericles (429 a.c) murió de la peste que se llevó también a una cuarta parte de la población
ateniense. Para conjurar el peligro se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos para preguntarle
cómo podría desaparecer la peste. El oráculo contestó que...