La Aritmetica

COLEGIO GAUDI



GEOMETRÍA



DOCENTE ARMANDO TADEO MENDEZ



ELABORADO POR: ENRIQUE GUZMAN MEJIA


CICLO ESCOLAR
2014 - 2015




18 DE MARZO DEL 2015



GEOMETRÍA

Ecuaciones de circunferencias en contexto

La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente constituida en un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. La civilizaciónbabilónica fue una de las primeras culturas en incorporar el estudio de la geometría con la invención de la rueda se abrió el camino al estudio de la circunferencia, que conllevaría posteriormente al descubrimiento del número π (pi); También desarrollaron el sistema sexagesimal, al conocer que cada año cuenta con 360 días, además implementaron una fórmula para calcular el área del trapeciorectángulo.1 En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría2 en forma axiomática y constructiva, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en Los Elementos.

El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar lasposiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra de ecuaciones y la geometría analítica, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones yecuaciones.
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos).
Determinación de una circunferencia
Una circunferencia queda  determinada cuando  conocemos:
 Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
 El centro y el radio.
 El centro y unpunto en ella.
El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia).
Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentrodel Plano Cartesiano) diremos que ─para cualquier punto, P (x, y),  de una circunferencia cuyo centro  es el punto C (a, b) y con radio r─, la ecuación ordinaria es
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
¿Qué significa esto?
En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el Plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” comográfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática.
 
Así la vemos
Así podemos expresarla

 
Donde:
(d) Distancia CP = r
y

Fórmula que elevada al cuadrado nos da
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
También se usa como
(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2
 
Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante delcentro un radio (r). Y que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a las coordenadas del centro de la circunferenciaC(a, b).
Nota importante:
Los ejercicios sobre esta materia pueden hacerse en uno u otro sentido.
Es decir, si nos dan la ecuación de una circunferencia, a partir de ella podemos encontrar las coordenadas de su centro y el valor de su radio para graficarla odibujarla.
Y si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia y el radio o datos para encontrarlo, podemos llegar a la ecuación de la misma circunferencia.
Cuadrado del binomio
Aquí haremos una pausa para recordar el cuadrado del binomio ya que es muy importante para lo que sigue:
El binomio al cuadrado  de la forma  (a ─ b)2 podemos desarrollarlo como (a ─ b) (a ─ b) o convertirlo en...