La braquistocrona

Facultad de Ingeniería

Cálculo IV

La Braquistócrona

Profesor: Guillermo Cáceres
Alumno : David CandiaIntroducción

En general el termino Cálculo (del latín calculus = piedra)[] hace referencia, indistintamente, a la acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por suparte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamenteconocidos.
Se llaman “Funcionales” a las magnitudes variables cuyos valores se determinan mediante la elección de una o de varias funciones.
El Cálculo Variacional estudia los métodos que permiten hallarlos valores máximo y mínimos de los funcionales. Los problemas en que se exigen investigar el máximo o el mínimo de una funcional, se denominan problemas variacionales.
Uno de estos problemas intentadescribir las líneas de deslizamiento más rápido, o “braquistócronas”. Este problema se llama “La Braquistócrona” (del griego brachistos, el más breve, y cronos, tiempo, Johann Bernoulli(1696)) y enél, se exige determinar la línea que une dos puntos dados A y B, que no pertenecen a una misma recta vertical, que posea la propiedad de que un objeto (o punto material) se deslice por dicha línea desdeel punto A hasta el B en el menor tiempo posible.

Desarrollo
Si queremos calcular la Braquistócrona de ciertos puntos, podemos usar, las ecuaciones variacionales de Euler y aplicar las condicionesde LaGrange. Nos Encontramos con el caso de una curva muy especial, la Cicloide.
Obtención de Ecuaciones Diferenciales de Euler-Lagrange.
La variación de I con respecto a α se puede escribir como:Donde α es un conjunto de caminos vecinos identificados por un parámetro infinitesimal, con y(x,0) el camino correcto, y se utiliza una función η(x) llamada variación para poder resolver la...