La Cal

Language: Spanish
Day: 1

Martes 8 de julio de 2014
Problema 1. Sea a0 < a1 < a2 < · · · una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar
que existe un único entero n ≥ 1 tal que
an<

a0 + a1 + · · · + an
≤ an+1 .
n

Problema 2. Sea n ≥ 2 un entero. Consideremos un tablero de tamaño n × n formado por n2
cuadrados unitarios. Una configuración de n fichas en este tablero sedice que es pacífica si en cada
fila y en cada columna hay exactamente una ficha. Hallar el mayor entero positivo k tal que, para
cada configuración pacífica de n fichas, existe un cuadrado de tamaño k ×k sin fichas en sus k 2
cuadrados unitarios.
Problema 3. En el cuadrilátero convexo ABCD, se tiene ∠ABC = ∠CDA = 90◦ . La perpendicular a BD desde A corta a BD en el punto H. Los puntos S y T estánen los lados AB y AD,
respectivamente, y son tales que H está dentro del triángulo SCT y
∠CHS − ∠CSB = 90◦ ,

∠T HC − ∠DT C = 90◦ .

Demostrar que la recta BD es tangente a la circunferenciacircunscrita del triángulo T SH.

Language: Spanish

Tiempo: 4 horas y 30 minutos
Cada problema vale 7 puntos

Language: Spanish
Day: 2

Miércoles 9 de julio de 2014
Problema 4. Los puntos P yQ están en el lado BC del triángulo acutángulo ABC de modo
que ∠P AB = ∠BCA y ∠CAQ = ∠ABC. Los puntos M y N están en las rectas AP y AQ,
respectivamente, de modo que P es el punto medio de AM , y Qes el punto medio de AN . Demostrar
que las rectas BM y CN se cortan en la circunferencia circunscrita del triángulo ABC.
Problema 5. Para cada entero positivo n, el Banco de Ciudad del Caboproduce monedas de valor
1
. Dada una colección finita de tales monedas (no necesariamente de distintos valores) cuyo valor
n
1
total no supera 99 + 2 , demostrar que es posible separar esta colecciónen 100 o menos montones, de
modo que el valor total de cada montón sea como máximo 1.
Problema 6. Un conjunto de rectas en el plano está en posición general si no hay dos que sean
paralelas ni...