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Las distribucion t de Student

Fue descubierta por William S. Gosset (1876-1937) en 1908 cuando trabajaba para la compañía de cervezas Guinness en Dublín (Irlanda). Gosset no pudo publicar sus descubrimientos usando su propio nombre porque Guinness había prohibido a sus empleados que publicaran información confidencial. Gosset firmó sus publicaciones usando el nombre de "Student". Gosset teníabuena relación con Karl Pearson que había sido su maestro. Necesitaba una distribución que pudiera usar cuando el tamaño de la muestra fuera pequeño y la varianza desconocida y tenía que ser estimada a partir de los datos. Las distribuciones t se usan para tener en cuenta la incertidumbre añadida que resulta por esta estimación. Ronald Fisher comprendió la importancia de los trabajos de Gossetpara muestras pequeñas.

Distribución t de Student

Función de densidad de probabilidad

Función de distribución de probabilidad
Parámetros grados de libertad (real)
Dominio

Función de densidad(pdf)

Función de distribución(cdf)
donde es la función hipergeométrica
Media
para , indefinida para otros valores
Mediana

Moda

Varianza
para , indefinida para otrosvalores
Coeficiente de simetría
para
Curtosis
para
Entropía

• : función digamma,
• : función beta
Función generadora de momentos(mgf)
(No definida)


En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

La caracterización

La distribución tde Student es la distribución de probabilidad del cociente

donde
• Z tiene una lateral de media nula y mediana 1
• x tiene una distribución bilateral con grados de confianza
• o y z son independientes
Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad .

Aparición y especificacionesde la distribución t de Student
Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ. Sea

la media muestral. Entonces

sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.
Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relacionado,



es la varianza muestraly demostró que la función de densidad de T es

donde es igual a n − 1.
La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.
El parámetro representa el número de grados de libertad. La distribución depende de , pero no de o , lo cual es muy importante en la práctica.

Intervalos de confianza derivados de la distribución t de Student

El procedimiento para el cálculodel intervalo de confianza basado en la t de Student consiste en estimar la desviación típica de los datos S y calcular el error estándar de la media , siendo entonces el intervalo de confianza para la media = .
Es este resultado el que se utiliza en el test de Student: puesto que la diferencia de las medias de muestras de dos distribuciones normales se distribuye también normalmente, ladistribución t puede usarse para examinar si esa diferencia puede razonablemente suponerse igual a cero.
para efectos prácticos el valor esperado y la varianza son:
y para


Distribución t de Student No Estandarizada
La distribución t puede generalizarse a 3 parámetros, introduciendo un parámero locacional y otro de escala . El resultado es una distribución t de Student No Estandarizada...