La casa de mi mama

TEMA 1 - NOMBRES REALS
El conjunt dels nombres naturals
Els nombres naturals sorgeixen de la necessitat de comptar o d'ordenar. Aquest
conjunt es simbolitza amb la lletra N
N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Amb aquest conjunt podem sumar i multiplicar.
El conjunt dels nombres enters
Per representar el resultat de qualsevol resta cal ampliar el conjunt N amb un nou
conjunt de nombres : elsnombres enters.
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... }
Es representen sobre una recta on tenim col·locats els nombres naturals. Fem
correspondre el nombre 0 amb l'extrem A del segment AB.
3
1
2
0
A
B
Traslladant cap a l'esquerra AB obtindrem els nombres enters -1, -2, -3, ...allà on es
situa l'extrem A.
-1
A
-2
A

-1

0

1

2

3

1

2

3

B
0

B

Amb aquestconjunt podem sumar, restar i multiplicar.

El conjunt dels nombres racionals
En el conjunt dels nombres enters la divisió no sempre és possible. Cal ampliar el
conjunt dels nombres enters al conjunt dels nombres racionals. Simbolitzem aquest
conjunt amb la lletra Q.

1

Un nombre racional està format per una fracció ( divisió indicada de dos enters ) i les
seves fraccions equivalents.Cadascuna d'aquestes fraccions equivalents és un
representant del nombre racional. La fracció irreductible de denominador positiu és el
representant canònic del nombre racional.
Exemple:
nombre racional
representants
representant canònic
−4
−8 20 −4 −12
,
,
,
,. . .
5
10 −25 5 15

{

}

Els nombres racionals també es poden representar mitjançant punts sobre una recta.
Donat unnombre racional aquest pot ser:
3



més petit que 1, per exemple, 5 , es divideix el segment unitat en 5 parts ( aplicant
el teorema de Tales ) i triem 3 d'aquestes.

3
5



7

més gran que 1, per exemple, 3 , en aquests cas fem primer la divisió: 7 3
1 2
3 · 2+1
7
1
7
per tant 7 = 3 · 2 + 1, 3 =
= 2 + 3 . Per representar 3 es prenen dues unitats
3
i es divideix la unitatsegüent en tres parts i d'aquestes se'n pren una.

7
3
Tot nombre racional es pot expressar en forma decimal. S'obté dividint el numerador pel
denominador.

2

Les diverses situacions que es poden donar quan transformem una fracció en nombre
decimal són:
a. divisió exacta: el numerador és múltiple del denominador, es tracta d'un nombre
64

enter. Exemple: 16 = 4
97

b. decimalexacte: després d'uns quants decimals la divisió s'acaba. Exemple: 40 =
2,425
c. decimal periòdic pur: després de la coma decimal apareix una xifra o un grup de
32

xifres que es repeteix indefinidament. Exemple: 27 = 1,185185185...
d. decimal periòdic mixt: després de la coma decimal i d'algunes altres xifres apareix
19

un dígit o un grup de dígits que es repeteix indefinidament. Exemple:22 =0,8636363...
De la mateixa manera, qualsevol nombre decimal periòdic o exacte admet una
representació com a fracció, és a dir, com a nombre racional. Es tracta de trobar la
fracció generatriu.
decimal exacte

fracció generatriu
12
10000

0,0012
decimal periòdic pur

3

= 2500

fracció generatriu
66
22
73−7
= 9 = 3
9

7,333333333333...
decimal periòdic mixt

fracciógeneratriu
2345−23
990

2,3454545454545...

2322

= 990

129

= 55

El conjunt dels nombres irracionals
Es pot demostrar que existeixen nombres que no es poden escriure en forma de fracció
( per exemple, √ 2 ). Aquests nombres decimals d'infinites xifres que no formen període
són anomenats nombres irracionals.
Exemple:
0,101001000100001 ...
√ 2 = 1,414213562...
1+√ 5

nombred'or Φ =
2
π = 3,141592654...

= 1,618033989...

3

Els nombres irracionals també es representen sobre una recta. Si són irracionals donats
per un nombre quadràtic n'hi ha prou amb construir un triangle rectangle la hipotenusa
del qual tingui com a longitud aquest radical.
Exemple: √ 5

√5
En cas de no ser un radical quadràtic, el nombre irracional es pot representar de forma...