La catenaria

La catenaria es la representación gráfica de una función hiperbólica (coseno hiperbólico), por lo tanto consideramos realizar antes un análisis de los diferentes comportamientos de las funcioneshiperbólicas para conocer ampliamente a dicha “curva natural”.

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

La función exponencial y=ex permite definir otras funciones muy importantes en matemática llamadas funcioneshiperbólicas.

Estas funciones hiperbólicas son semejantes a las funciones trigonométricas ordinarias, ya que se relacionan entre sí mediante reglas muy parecidas a las reglas que corresponden a lasfunciones cos(x) y sen(x) (identidades trigonométricas).

Así como cos(x) y sen(x) pueden identificarse con el punto (x, y) en el circulo unitario x²+y²=1, así también las funciones ch(x) y sh(x) puedenidentificarse con las coordenadas de un punto (x, y) sobre la hipérbola unitaria x²-y²=1.

Círculo Unitario
x²+y²=1

Hipérbola Unitaria
x²-y²=1

GRÁFICA, DOMINIO E IMÁGEN DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS.Seno hiperbólico y su inverso, la cosecante hiperbólica

Coseno hiperbólico y su inverso, la secante hiperbólica




Tangente hiperbólica y su inverso, la cotangente hiperbólica



IDENTIDADES DELAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

a) Sumando las funciones dadas se obtiene:

ch(x) + sh(x) = ex

b) Restando la segunda de la primera se obtiene:

ch(x) – sh(x) = e-x

c) Multiplicando estas dosúltimas expresiones resulta:

ch2(x) – sh2(x) = 1

Relación fundamental que nos permite calcular cada función en término de la otra.

chx=+sh2x+1 “y” shx=±ch2x-1

d) Las funcioneshiperbólicas restantes se definen en términos de sh(x) y ch(x) como sigue:

Tangente Cotangente

SecanteCosecante

LA CATENARIA
Ejemplo de Catenaria dentro de un sistema de coordenadas

La catenaria es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de...