La Cencia

Geometría Analítica
x

Tenemos una sola dirección, ya sea horizontal o vertical. Sin embargo, podemos tener más de una dirección:
(x ,y)
y
x
(0,0)
y
x

y
x

z
(x ,y, z)

x, y, z no solo deben ser constantes, también puede ser funciones, del tiempo por ejemplo, donde el vector vendría a ser también función del tiempo.

Y aunque estamos acostumbrados a máximo 3 dimensiones, enrealidad puede existir un infinito número de dimensiones.

Curva albeada o trayectoria
Para un cierto instante t, donde t viene en un cierto intervalo de tiempo tomado como me conviene de acuerdo al fenómeno que se analice, voy a tener un punto y un vector .
Imaginemos a una mosca volando. Si pudiéramos tomar una foto instantánea de la mosca, notamos que su movimiento describirá unatrayectoria, es decir, su movimiento generará una curva alabeada. Así, el vector siempre va a ir cambiando, nunca va a permanecer constante.
y
x
z
Curva alabeada o trayectoria

t
I

Tenemos varios ejemplos de objetos que describen una curva alabeada:
* Una soga cuando la lanzamos al aire.
* Un carro en una carretera.
* Las partículas de polvo en el aire.
* Las burbujas dejabón.
Ejemplo:
La trayectoria de una partícula es r=5cosθ i+2eθj m, donde θ=2t2 rad. Calcular la posición, velocidad y aceleración de la partícula para t=1 s.
v=drdt=d5cosθ i + 2eθ jdt
v= -5sinθdθdt i+2eθdθdt j
a=dvdt
a=-5cosθdθdtdθdt- 5sinθd2θdt2i+2eθdθdtdθdt+ 2eθd2θdt2j
dθdt=4trads
d2θdt2=4rads
Para t=1 s:
θ=2rads
dθdt=4rads
d2θdt2=4rads
∴Tenemos
r=5cos2i+2e2j=-2.08 i+14.78 j m
v=-5sin24i +2e24j=-18.19 i+59.11 j ms
a=-542cos2-54sin2i+242e2+24e2 j
a=15.10 i+295.56 j ms2

1.
2.
3. Producto de una función escalar por una función vectorial:

4. Derivada del producto escalar de dos funciones derivables:
El orden debe mantenerse
5. No alterar el orden.
6. Derivada de una función compuesta (regla de la cadena).

7.Ejemplo:
El radio vector de un punto móvil, en cualquier instante de tiempo está dado por r=i-4t2 j+ 3t2 k. Determinar la velocidad.
∴a=1 ; b=4t2 ; c= 3t2
v= drdt= dadti+ dbdtj+ dcdtk
dadt=0 ; dbdt=-8t ; dcdt=6t
∴Tenemos que v= drdt= -8t j +6t k

* De dos variables:
En una función implícita, no sabemos con exactitud cuál es la variable dependiente y cuál es la variableindependiente.

Cuando no me dicen cuál es la relación de dependencia entre las variables, puedo despejar x o y indistintamente.
Geométricamente las funciones implícitas de dos variables representan curvas en el plano en .
También podemos tener un sistema de ecuaciones implícitas:

Ejemplo:
x2+ y2- 9=0
∴Tenemos
y= 9- x2=f1(x)
y= - 9- x2=f2x
x= 9- y2=g1(x)
x= - 9- y2=g2(x)
Cuandoresolvemos un sistema, estoy hallando los puntos de intersección de las curvas.
Como cada función es una curva, su intersección genera uno o más puntos.

* De tres variables ():
Lo que esperamos ver es que estén presentes las tres variables. De la misma forma, si no nos especifican la dependencia de las variables, puedo tener varias posibilidades:

Geométricamente, representa una superficieen el espacio ().
Hay un caso que debemos considerar:
* Representa una superficie cilíndrica que generatriz al eje z
Sí, las funciones podrían estar representando una superficie cilíndrica, siempre y cuando tengamos una generatriz paralela a uno de los ejes coordenados (z, y o x respectivamente).
Solo cuando la generatriz no sea paralela a ninguno de los ejes coordenados, la función debetener la forma:

Como notamos, la generatriz es paralela a uno de los ejes (z). Así, sabemos que la función es

Aquí, en cambio, la generatriz es paralela al eje y, por lo que la función tiene la forma

Como la generatriz es paralela el eje x, la función tiene la forma:
Ahora, también podemos tener sistemas de funciones implícitas de tras variables:

Cada una representa una...