La Cenicienta

Semana 8 - Clase 23

25/01/11

Tema 4: Sistemas y Series

Sistemas de ecuaciones diferenciales y el uso de operadores
En la clase anterior resolvimos algunos sistemas de ecuaciones diferenciales sac´ndole provecho a a la notaci´n matricial. Sin embrago, algunos sistemas son tan simples que tienen un m´todo casi o e directo para su resoluci´n, como podemos ver a continuaci´n: o o EjemploResolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales x = 2e2t ˙ x2 − y y = ˙ . t

t = 0.

R´pidamente nos damos cuenta que la primera ecuaci´n puede ser integrada de manera directa: a o dx = 2e2t dt ⇒ x(t) = e2t + C1

al sustituir este resultado en la segunda ecuaci´n: o e2t + C1 dy = dt t
2

−y

⇒

2 dy y e4t + 2C1 e2t + C1 + = dt t t

esta ultima ecuaci´n es lineal en y, por lotanto la sabemos resolver: ´ o y(t) =
1 4t 4e 2 + C1 e2t + C1 t + C2 , t

t = 0.

Anteriormente vimos algunas ventajas que aparecen por el hecho de utilizar la notaci´n de o operadores para encontrar una soluci´n de una ecuaci´n diferencial lineal de orden n. Recordemos o o que una ecuaci´n diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes se pod´ escribir de la o ıa siguiente manera:P (D)y = Q(x) . (1) donde P (D) = a0 + a1 D + a2 D2 + · · · + an Dn , an = 0 . con: a2 , a1 , a2 , . . . , an constantes. En el caso de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales podemos tambi´n hacer uso de esta e notaci´n: o P11 (D)y1 + P12 (D)y2 + P13 (D)y3 + · · · + P1n (D)yn = Q1 (x) P21 (D)y1 + P22 (D)y2 + P23 (D)y3 + · · · + P2n (D)yn = Q2 (x) . . . . . . Pn1 (D)y1 + Pn2 (D)y2 + Pn3(D)y3 + · · · + Pnn (D)yn = Qn (x) . (2)

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez e a u˜

1

Universidad de Los Andes, M´rida e

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Tema 4: Sistemas y Series

La soluci´n del sistema (2) es el conjunto de funciones: {yn (x)}, cada una de ellas definidas en o un intervalo com´n I. Por ejemplo, para el siguiente sistema se tiene u 2y1 (x) + 3y1 (x) + 5y2 (x) − y2 (x) =ex ⇒ y1 (x) − y1 (x) + 3y2 (x) + y2 (x) = sen(x) (D − 3)y1 + (3D + 1)y2 = sen(x) Notemos tambi´n que el sistema (2) es un caso m´s general a los estudiados anteriormente, que e a eran de la forma: y (x) = P (x) y(x) + g (x) . Por cuestiones netamente did´cticas nos detendremos en el caso n = 2, entendiendo que los a resultados aqu´ obtenidos pueden extrapolarse para cualquier valor de n. Cuando n =2, tenemos ı entonces: P11 (D)y1 + P12 (D)y2 = Q1 (x) P21 (D)y1 + P22 (D)y2 = Q2 (x) (3) Estos sistemas al resolverse para las funciones inc´gnitas deben contener un n´mero apropiado de o u constantes y para tal fin existe un teorema que garantiza el n´mero correcto de constantes que u deben aparecer. Teorema: El n´mero de constantes arbitrarias que deben aparecer en la soluci´n del sistema u o(3) debe ser igual al orden de la siguiente expresi´n: o ∆ ≡ P11 (D)P22 (D) − P12 (D)P21 (D) (4) (2D + 3)y1 + (5D − 1)y2 = ex

con: ∆ = 0. Si se da el caso que ∆ = 0, se dice que el sistema es degenerado. Notemos adem´s que (4) tiene a la forma de un determinante. Caso no degenerado: ∆ = 0 El sistema (3) puede ser tratado como un sistema de ecuaciones algebraico. Esto significa que podemosmanipular las filas a nuestra conveniencia para obtener su soluci´n o utilizar o cualquier t´cnica para la resoluci´n de sistemas de ecuaciones algebraicas desarrollado en e o cursos anteriores. Ejemplo Resolver el sistema 2x − x + y + 4y = 1 ˙ ˙ x − y = t − 1. ˙ ˙ Tal vez sea conveniente adaptar el problema a nuestra notaci´n, es decir, hacemos los siguieno tes cambios: x(t) = y1 (x) y y(t) = y2 (x). Porlo tanto: 2y1 (x) − y1 (x) + y2 (x) + 4y1 (x) = 1 y1 (x) − y2 (x) = x − 1 . H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez e a u˜ 2 Universidad de Los Andes, M´rida e

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25/01/11

Tema 4: Sistemas y Series

En la notaci´n del operador diferencial ser´ o ıa: (2D − 1)y1 + (D + 4)y2 = 1 Dy1 − Dy2 = x − 1 . Multipliquemos la primera ecuaci´n por D y la segunda por D + 4: o (2D2 − D)y1 +...