la cienai

Apéndice

A
Revisión de algunos
conceptos estadísticos
En este apéndice se introducen, en forma muy general, algunos conceptos estadísticos que aparecen en este texto. El análisis no es riguroso y no se presentan pruebas debido a que existen
diversos libros de estadística, excelentes, que hacen muy bien ese trabajo. Algunos de esos libros
se mencionan al final del apéndice.

A.1Operadores de sumatoria y de producto
Con la letra mayúscula griega

(sigma) se indica la sumatoria. Así,
n

xi

x1 + x2 + · · · + xn

i 1

Algunas de las propiedades más importantes del operador de sumatoria

son

n

1.

k

nk, donde k es una constante. Así,

4
i 1

3

4·3

12.

i 1
n
i 1 kx i
n
i 1 (a +

k in 1 xi, donde k es una constante.
bxi ) na + b in 1 xi,donde a y b son constantes y se emplean las propiedades
3.
1 y 2 anteriores.
n
n
4. in 1 (xi + yi )
i 1 xi +
i 1 yi .
2.

El operador de sumatoria también se amplía a sumas múltiples. Así,
sumatoria, se define como
n

, el operador de doble

n

m

(xi1 + xi2 + · · · + xim )

xi j
i 1

i 1 j 1

(x11 + x21 + · · · + xn1 ) + (x12 + x22 + · · · + xn2 )
+ · · · + (x1m + x2m+ · · · + xnm )
Algunas de las propiedades de
n
i 1

m
j 1

xi j
intercambiable.
2. in 1 m 1 xi yj
j
1.

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m
j 1
n
i 1

n
i 1

xi

son:
xi j; es decir, el orden en el cual se realice la doble sumatoria es
m
j 1

yj .

12/19/09 11:22:56 PM

802

Apéndice A

Revisión de algunos conceptos estadísticos

3.
4.

n
i 1
n
i 1m
j 1 (x i j
2
xi

+ yi j )
n
2
i 1 xi + 2

El operador de producto

n
m
n
i 1
j 1 xi j +
i 1
n−1
n
i 1
j i+1 x i x j

m
j 1 yi j .
n
2
i 1 xi +

2

i< j

xi x j .

se define como
n

xi

x1 · x2 · · · xn

i 1

Por tanto,
3

xi

x1 · x2 · x3

i 1

A.2

Espacio muestral, puntos muestrales y sucesos
El conjunto de todos los resultados posiblesde un experimento aleatorio, o al azar, se denomina
población o espacio muestral, y cada miembro de este espacio muestral se denomina punto
muestral. Por tanto, en el experimento de lanzar dos monedas, el espacio muestral consta de
estos cuatro resultados posibles: HH, HT, TH y TT, donde HH significa una cara en el primer lanzamiento y nuevamente una cara en el segundo, HT significa una cara enel primer lanzamiento
y una cruz en el segundo, y así sucesivamente. Cada uno de los sucesos anteriores constituye un
punto muestral.
Un suceso es un subconjunto del espacio muestral. Así, si A denota la ocurrencia de una cara
y de una cruz, entonces, de los posibles resultados anteriores, sólo dos pertenecen a A, a saber:
HT y TH. En este caso, A constituye un suceso. En forma similar, laocurrencia de dos caras en el
lanzamiento de dos monedas es un suceso. Se dice que los sucesos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno impide la ocurrencia de otro. Si en el ejemplo anterior ocurre HH, no
es posible la ocurrencia del suceso HT al mismo tiempo. Decimos que los sucesos son exhaustivos (colectivamente) si se agotan todos los resultados posibles de un experimento. Así, en elejemplo, los sucesos a) dos caras, b) dos cruces y c) una cruz y una cara agotan todos los resultados posibles; por tanto, son sucesos exhaustivos (colectivamente).

A.3

Probabilidad y variables aleatorias
Probabilidad
Sea A un suceso en un espacio muestral. Sea P(A) la probabilidad del suceso A, es decir, la proporción de veces que el suceso A ocurrirá en ensayos repetidos de unexperimento. En forma
alterna, en un total de n posibles resultados igualmente probables de un experimento, si m de ellos
son favorables a la ocurrencia del suceso A, se define la razón m/n como la frecuencia relativa
de A. Para valores grandes de n, esta frecuencia relativa constituye una muy buena aproximación de
la probabilidad de A.

Propiedades de la probabilidad
P(A) es una función de valor...