la ciencia

DIFERENCIA AL CUADRADO:
Los productos notables cumplen con ciertas reglas determinadas cuyo resultado puede escribirse sin verificar la multiplicación. Las letras representan números reales por lo que se pueden aplicar las propiedades operatorias de los números reales para comprobar la eficacia de cada fórmula. Veamos entonces que sería el cuadrado de una diferencia.
Producto de la suma por ladiferencia
Siendo el producto:
(a+b). (a-b)
Se desarrollará esta multiplicación quedando de la siguiente forma:

Entonces:

Diremos entonces que la suma de dos valores multiplicado por su diferencia es igual al cuadrado de minuendo menos el cuadrado del sustraendo. El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades puede ser representado en forma geométrica cuando sus valores sonpositivos, veamos la siguiente representación:
En principio tenemos un cuadrado de lado a como el siguiente:

Tenemos construido también un cuadrado de lado b:

Se le quita al cuadrado de lado a el cuadrado de lado b, y se trazan líneas de punto para lograr
obtener así dos rectángulos cuyos lados son b y (a-b) :

En el ejemplo siguiente se trasladará uno de los rectángulos en la forma queindica la flecha de color amarillo, para luego obtener un rectángulo cuyos lados sean (a+ b ) y ( a –b ):

El área de este rectángulo será entonces:

Entonces de esta forma se comprueba que el producto de la suma por la diferencia es una diferencia de cuadrados. Para aclarar mejor el tema podemos decir también que el cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primertérmino menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término. Por ejemplo:

para la diferencia de cuadrados debemos tener en cuenta que un binomio es invariablemente una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos de los cuales esté compuesto tengan signos y sus términos tengan una raíz cuadrada exacta.

TRINOMIO CUADRADO DE SEGUNDO GRADO

Un trinomio desegundo grado completo, con un sólo tipo de letra, siempre tiene: un término de segundo grado (por ej: "2x2"), un término de grado 1 (por ej: "-3x") y un término independiente (por ej: "1"). No hay ninguna condición especial que deban cumplir sus coeficientes (¿coeficiente?). Sin embargo, no siempre se llega a obtener una factorización. A veces no hay solución posible (en el conjunto de los númerosreales), entonces el trinomio queda sin factorizar. Pero a priori, en cualquier trinomio completo de grado 2 se puede intentar aplicar el Caso. Aunque es mejor fijarse primero si no es posible aplicarle el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto, ya sería más "correcto" aplicarle este Caso si correspondiera. De todos modos se llega al mismo resultado, o resultados equivalentes. 


¿Por qué alguienle llamaría "Trinomio Cuadrado No Perfecto" a este Caso?

Por oposición a lo que es un Trinomio Cuadrado Perfecto. Recordemos que en el mencionado Tercer Caso, tenemos un trinomio que viene de usar la fórmula del Binomio al Cuadrado:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, y por eso se lo llama "Cuadrado Perfecto". Ese Tercer Caso no sirve para factorizar un Trinomio que no venga de usar esa fórmula, esdecir que no sirve para factorizar un Trinomio que no sea en definitiva el "cuadrado" de un binomio (Para entender esto hay que ver el Tercer Caso de Factoreo). Y entonces, para factorizar esos otros trinomios que NO son cuadrado de un binomio, tenemos este Séptimo Caso, y por eso se nos podría ocurrir llamarlo "Trinomio Cuadrado No Perfecto". Porque sirve para factorizar a aquellos trinomios que, sonde segundo grado (cuadrado), pero no son "perfectos cuadrados" de ningún binomio.


¿Qué conceptos se usan para factorizar por este Caso?

- Si lo hacemos con la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas ("fórmula resolvente":
x1,2 =), lo que usamos es que los polinomios de segundo grado pueden descomponerse como producto de dos polinomios de la forma (x - raíz), multiplicado por el...