La Circunferencia
Páginas: 7 (1651 palabras)
Publicado: 1 de agosto de 2012
La parábola como lugar geométrico.
Definición:
Una parábola es el lugar geométrico que comprende todos los puntos en el plano que cumplen la propiedad de estar siempre al a misma distancia (equidistante) de un punto fijo llamado foco y de una recta fija que no pasa por el punto llamadas directriz.
[pic]
Elementos asociados a una parábola.
Al punto fijo llamado foco lo representaremoscon F, a la recta fija llamada directriz con D.
La distancia entre el foco y la vértice y a la distancia entre el vértice y la directriz lo representamos por p.
El vértice de la parábola con V.
La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco y por el punto de la parábola llamado vértice (V), se llama eje de la parábola.
La posición del eje determina la posición de la parábola. Laparábola siempre es simétrica con respecto a su propio eje.
Lado recto: Se llama ancho focal o lado recto de la parábola, la magnitud del segmento de recta perpendicular al eje de la parábola que pasa por el foco uniendo dos puntos de la misma y su longitud esta dada por L.L.R. = 4|p|
Estos elementos se pueden apreciar en la siguiente gráfica.
[pic]
Formas de trazo de la parábola a partirde su definición.
Una forma fácil de dibujar una parábola consiste en localizar su directriz, vértice, foco y lado recto (LR) y trazar su gráfica por los puntos V,L y R. Por ejemplo, si una parábola tiene por directriz la recta 2y - 5 = 0, con vértice en el origen V(0, 0), Foco en F(0, -2.5) y L.L.R.=10, su gráfica sería:
[pic]
Una forma más precisa de graficar una parábola es utilizandoregla y compás, para ello se pueden seguir los siguientes pasos:
1) Localizar la directriz, el vértice y el foco.
2) Se trazan rectas paralelas a la directriz a una distancia arbitraria “d” de la misma.
3) Enseguida, para cada recta, se trazan circunferencias con centro en F y radio
“d”. Los puntos donde la circunferencia intersecte a la recta están en la parábola.
4) Se traza su gráfica.
Porejemplo, la gráfica de una parábola con directriz x + 2 = 0, V(0, 0) y F(2, 0) quedaría de la siguiente forma:
[pic]
ECUACIONES ORDINARIAS DE LA PARÁBOLA
Desde el punto de vista algebraico, una parábola que abra hacia la derecha o hacia la izquierda (parábola horizontal) está representada por una ecuación de segundo grado de la forma general
y² + Dx + Ey + F = 0
mientras que unaparábola que abra hacia arriba o hacia abajo (parábola vertical) está dada por una ecuación de la forma
x² + Dx + Ey + F = 0.
La primera de esas ecuaciones es el desarrollo de la llamada ecuación ordinaria de la parábola horizontal
(y – k) ² = 4p (x- h).
Mientras que la segunda es el desarrollo de la ecuación
(x – h) ² = 4p (y - k).
La obtención de ambas ecuaciones es consecuencia de ladefinición de parábola y su demostración puede consultarse en la bibliografía.
Parábolas horizontales y verticales con vértice en el origen.
Considerando la posición del punto fijo F y la de la directriz, la parábola con vértice en el origen puede abrir en forma horizontal (el foco está a la derecha o a la izquierda del origen) o en forma vertical (el foco está arriba o abajo del origen).Parábolas horizontales
Cuando se tiene el eje focal Horizontal y su vértice en el origen V (0,0,) la ecuación toma la forma canónica sustituyendo los valores de las coordenadas del vértice en la ecuación ordinaria (y – k) ² = 4p (x - h).
La ecuación resultante es: (y – 0) ² = 4p (x – h)
y² = 4px
Eje focal sobre el eje X (horizontal)
[pic]
Parábolas verticales
Cuando el eje focal esvertical y su vértice en el origen V (0,0) la ecuación tiene la forma ordinaria:
(x – k) ² = 4p (y - h).
Y sustituyendo las coordenadas del vértice
(x – 0) ² = 4p (y - 0)
La ecuación resultante en su forma canónica es
x² = 4py
Eje focal sobre el eje Y (vertical)
[pic]
Obtención de los elementos a partir de la ecuación
En base a la ecuación de la parábola se pueden obtener sus elementos:...
Definición:
Una parábola es el lugar geométrico que comprende todos los puntos en el plano que cumplen la propiedad de estar siempre al a misma distancia (equidistante) de un punto fijo llamado foco y de una recta fija que no pasa por el punto llamadas directriz.
[pic]
Elementos asociados a una parábola.
Al punto fijo llamado foco lo representaremoscon F, a la recta fija llamada directriz con D.
La distancia entre el foco y la vértice y a la distancia entre el vértice y la directriz lo representamos por p.
El vértice de la parábola con V.
La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco y por el punto de la parábola llamado vértice (V), se llama eje de la parábola.
La posición del eje determina la posición de la parábola. Laparábola siempre es simétrica con respecto a su propio eje.
Lado recto: Se llama ancho focal o lado recto de la parábola, la magnitud del segmento de recta perpendicular al eje de la parábola que pasa por el foco uniendo dos puntos de la misma y su longitud esta dada por L.L.R. = 4|p|
Estos elementos se pueden apreciar en la siguiente gráfica.
[pic]
Formas de trazo de la parábola a partirde su definición.
Una forma fácil de dibujar una parábola consiste en localizar su directriz, vértice, foco y lado recto (LR) y trazar su gráfica por los puntos V,L y R. Por ejemplo, si una parábola tiene por directriz la recta 2y - 5 = 0, con vértice en el origen V(0, 0), Foco en F(0, -2.5) y L.L.R.=10, su gráfica sería:
[pic]
Una forma más precisa de graficar una parábola es utilizandoregla y compás, para ello se pueden seguir los siguientes pasos:
1) Localizar la directriz, el vértice y el foco.
2) Se trazan rectas paralelas a la directriz a una distancia arbitraria “d” de la misma.
3) Enseguida, para cada recta, se trazan circunferencias con centro en F y radio
“d”. Los puntos donde la circunferencia intersecte a la recta están en la parábola.
4) Se traza su gráfica.
Porejemplo, la gráfica de una parábola con directriz x + 2 = 0, V(0, 0) y F(2, 0) quedaría de la siguiente forma:
[pic]
ECUACIONES ORDINARIAS DE LA PARÁBOLA
Desde el punto de vista algebraico, una parábola que abra hacia la derecha o hacia la izquierda (parábola horizontal) está representada por una ecuación de segundo grado de la forma general
y² + Dx + Ey + F = 0
mientras que unaparábola que abra hacia arriba o hacia abajo (parábola vertical) está dada por una ecuación de la forma
x² + Dx + Ey + F = 0.
La primera de esas ecuaciones es el desarrollo de la llamada ecuación ordinaria de la parábola horizontal
(y – k) ² = 4p (x- h).
Mientras que la segunda es el desarrollo de la ecuación
(x – h) ² = 4p (y - k).
La obtención de ambas ecuaciones es consecuencia de ladefinición de parábola y su demostración puede consultarse en la bibliografía.
Parábolas horizontales y verticales con vértice en el origen.
Considerando la posición del punto fijo F y la de la directriz, la parábola con vértice en el origen puede abrir en forma horizontal (el foco está a la derecha o a la izquierda del origen) o en forma vertical (el foco está arriba o abajo del origen).Parábolas horizontales
Cuando se tiene el eje focal Horizontal y su vértice en el origen V (0,0,) la ecuación toma la forma canónica sustituyendo los valores de las coordenadas del vértice en la ecuación ordinaria (y – k) ² = 4p (x - h).
La ecuación resultante es: (y – 0) ² = 4p (x – h)
y² = 4px
Eje focal sobre el eje X (horizontal)
[pic]
Parábolas verticales
Cuando el eje focal esvertical y su vértice en el origen V (0,0) la ecuación tiene la forma ordinaria:
(x – k) ² = 4p (y - h).
Y sustituyendo las coordenadas del vértice
(x – 0) ² = 4p (y - 0)
La ecuación resultante en su forma canónica es
x² = 4py
Eje focal sobre el eje Y (vertical)
[pic]
Obtención de los elementos a partir de la ecuación
En base a la ecuación de la parábola se pueden obtener sus elementos:...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.