La circunferencia

La circunferencia solo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden. También se puede describir comola sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador.
Lacircunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia gonio métrica
Ecuaciones de la circunferencia
Ecuación en coordenadas cartesianas


Circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) quesatisfacen la ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,

Se deduce:

resultando:



Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,la ecuación de la circunferencia es:

Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: . Donde  es el parámetro de la curva, además cabe destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de lacircunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
Sea C un punto fijo del plano, r un real positivo, P un punto cualquiera de ℝ2, la ecuación |P - C|= r es la ecuación vectorial de la circunferencia de centro C y radio r.
Ecuación en coordenadas polares




Circunferencia unitaria.
Cuando la circunferencia tiene centro en elorigen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como 

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto  y el radio es , la ecuación se transforma en:

Ecuación paramétrica de la circunferencia
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:

y con funciones racionales como
, donde t recorre todos los valores reales y sellama parámetro

















ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NO. 68


“CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES”


EDWIN GOMEZ ZACARIAS


GRADO: 2º GRUPO: “3”


TURNO: MATUTINO


PROFESOR: LAURO MARTINEZ MARTINEZ


MATERIA: GEOMETRIA ANALITICA







Fig. 4.6
Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntosP1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.
Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que: 

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1) 
 
La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m. 

4.4.2. Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje yConsidere una recta l de la que se conocen m (m = tan  ) y b (ver fig. 4.7.) 




fig. 4.7.
Trácece por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al  llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas  
P’’(x, Y), Y  y. 
Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces , de donde Y = mx
Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un...