La Ciudad De Los Reyes , Los Quispe Y Los Chavez

Problema Nº 02: Un alambre de longitud L es cortado en dos secciones, una para formar un cuadrado y la otra parte para formar un triángulo equilátero. Cómo debería cortarse el alambre para:
a)Para que la suma de las áreas sea máxima.

b) Para que la suma de las áreas sea mínima.
RESOLUCIÓN:
L
4x
L – 4x
L
4x
L – 4x
Me piden la relación de corte del alambre respecto a la longitudtotal.

x
x
x
x
S1
x
x
x
x
S1

(L – 4x)/3
(L – 4x)/3
(L – 4x)/3
S2
(L – 4x)/3
(L – 4x)/3
(L – 4x)/3
S2

S1 = x2 y S2 = (((L-4x)/3)2 √3)/4
S total = S1+S2 = x2 + (((L-4x)/3)2 √3)/4
S total = ((36 + 16√3)x2 - 8√3L x + L2√3)/36
Como vemos S es una función que tiene la forma de una parábola abierta hacia arriba, por lo tanto posee un punto mínimo.a) Para S máx.:
L/4
L/4
L/4
L/4
S1
L/4
L/4
L/4
L/4
S1
Comparando las áreas del cuadrado y del triángulo para un mismo periodo:

L/3
L/3
L/3
S2
L/3
L/3
L/3
S2S1 = (L/4)2 y S2 = ((L/3)2 √3)/4
S1 = L2 /16 = 0.0625L2 y S2 = (L2 √3)/36 = 0.0481L2
Como podemos darnos cuenta el área delcuadrado crece mucho más rápido que el área del triángulo, entonces debemos procurar que el triángulo tenga la menor área posible.
S triángulo = S2 = ((L-4x)2√3)/4 = (16√3x2 – 8√3Lx + L2√3)/36
Comovemos S2 tiene la forma de una parábola abierta hacia arriba, por lo tanto posee un mínimo:
Derivando e igualando a cero:
S’2 = 0 = 32√3x - 8√3L , entonces: x = L/4

L cuadrado = 4x = L
Ltriángulo = L – 4x = 0

b) Para S mín.:
S total = ((36 + 16√3) x2 - 8√3L x + L2√3)/36
Como vemos la función S total posee un punto mínimo, entonces:
Derivando e igualando a cero:
S’ total =0 = (72+32√3)x - 8√3L
Entonces: x = √3L/(9 + 4√3)
Racionalizando: x = (3√3 – 4)L/11
Reemplazando x y hallando las respectivas medidas para cada figura:
L cuadrado = 4x = (12√3 – 16)L/11
L...