La cocina de la escritura

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
Escuela Polit´cnica Superior
e
Departamento de Matem´ticas
a

a t e
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a t i
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PROBLEMAS DE CALCULO I, 1er CURSO
GRADOS EN:
Ingenier´ El´ctrica
ıa e
Ingenier´ Electr´nica Industrial y Autom´tica
ıa
o
a
Ingenier´ Mec´nica
ıa
a
Ingenier´ de Sistemas Audiovisuales
ıa
Ingenier´ de Sistemas de Comunicaciones
ıa
Ingenier´ Telem´tica
ıaa

CURSO 2012–2013
Colecci´n elaborada por
o
Arturo de PABLO
Elena ROMERA

1

Funciones de variable real.

1

´
Indice
1 Funciones de variable real.
1.1 La recta real. . . . . . . .
1.2 Funciones elementales. . .
1.3 L´
ımites de funciones. . . .
1.4 Continuidad . . . . . . . .

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1
1
3
6
8

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9
9
12
13
15

3 Sucesiones y series.
3.1Sucesiones de n´meros reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u
3.2 Series de n´meros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u
3.3 Series de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16
16
19
21

4 Integraci´n en una variable
o
4.1 C´lculo de primitivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
a
4.2 Teorema fundamental del c´lculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
4.3 Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
23
27
28

2 C´lculo diferencial de una
a
2.1 Derivabilidad . . . . . .
2.2 Extremos de funciones. .
2.3 Representaci´n gr´fica. .
o
a
2.4 Polinomio de Taylor. ..

1
1.1

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variable.
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Funciones de variable real.
La recta real.

Problema 1.1.1
i) Sean los n´meros reales 0 < a < b, k > 0. Demuestra las desigualdades
u
1)

a<

√
a+b
ab <
< b,
2

2)

a
a+k
<
.
b
b+k

ii) Demuestra que |a + b| = |a| + |b| ⇐⇒ ab ≥ 0.
iii) Demuestra la desigualdad |a − b| ≥ |a| − |b| , para todo a, b ∈ I
R.
iv) Demuestraque:
a) max{x, y} =

x + y + |x − y|
,
2

b) min{x, y} =
{

v) Expresa con una sola f´rmula la funci´n f (x) = (x)+ =
o
o

x
0

x + y − |x − y|
.
2
si x > 0
.
si x ≤ 0

Problema 1.1.2 Descomp´n las expresiones en n en producto de factores para demostrar que
o
para todo n ∈ I se tiene
N

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Funciones de variable real.

2

i) n2 − n es par;
ii) n3 − n es m´ltiplo de6;
u
iii) n2 − 1 es m´ltiplo de 8 si n es impar.
u
Problema 1.1.3 Utiliza el m´todo de inducci´n para demostrar las siguientes f´rmulas:
e
o
o
i)

n
∑

j=

j=1

n(n + 1)
;
2

ii)

n
∑

j2 =

j=1

n(n + 1)(2n + 1)
;
6

iii)

n
∑

rj =

j=0

rn+1 − 1
.
r−1

Problema 1.1.4
i) Demuestra por inducci´n que para todo n ∈ I se tiene que 10n − 1 es m´ltiplode 9.
o
N
u
ii) Demuestra que un n´mero es m´ltiplo de 9 si y s´lo si la suma de sus cifras es m´ltiplo
u
u
o
u
de 9; es decir, n =

N
∑

aj 10j es m´ltiplo de 9 si y s´lo si
u
o

j=0

N
∑

aj es m´ltiplo de 9.
u

j=0

N
Problema 1.1.5 Prueba que si n ∈ I no es un cuadrado perfecto entonces
Indicaci´n: escribe n = z 2 r, donde r no contiene ning´n factor cuadrado....