La conducta humana

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LIMITES DE FUNCIONES REALES

Consideraremos funciones cuyo dominio son los reales, e
cuyo
esto significa que
dada una función de la forma:
f(x) = 3x2 + 5x - 2
y al considerar un número real x = c , f(x) deberá presentar un valor real, tal que, se
dice que la función está definida para tal valor x = c.
Si x = 2, entonces

f(2) = 3(2)2 + 5(2) – 2 = 20

, lo que permite concluirque la Función Converge hacia el número 20 cuando x
tiende a 2.
Si otra función f(x) está dada por:
y se desea encontrar el valor de la función para x = 2, concluimos:
es un valor indeterminado.
Por lo tanto se dice que la Función es Divergente cuando x tiende a 2.
Noción Intuitiva
upongamos
Supongamos que se nos pide esbozar la gráfica de la función

Esta función está definida paracualquier valor real de x, excepto cuando
x = 1; pero para tener una idea de lo que sucede con la función en torno a este valor,
nos aproximaremos al valor 1 por ambos lados de la recta real (por la izquierda y
por la derecha) pero sin llegar a ser 1:

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x →1-

0

0,5

0,9

f(0) = 1

f(0,5) =
1,75

f(0,9) =
2,79

2

1,5

1,1

f(2) = 7

f(1,5) =
4,75

x →1+

0,990,999

f(0,99) = f(0,99) =
2,9701
2,9971

1,01

1,001

f(1,1) = f(1,01) = f(1,001) =
3,31
3,0301 3,0030

Se ve claramente en las tablas, que a medida que la variable x se aproxima a 1 por
ambos lados, la función fue arrojando valores más cercanos a 3.
Lo que se
anota
Límite de la
función

y se lee:
, cuando x tiende a 1, es 3”.

Definición
e
Se dice que el Limite de lafunción f(x) → L cuando x → a,
(L y a son números reales)

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Límites Laterales
A. Definición Límite por la Derecha
Si
por valores mayores que c y la función
dice que L es el Límite por Derecha, y denotamos:

tiende al límite L, entonces se

B. Definición Limite por la Izquierda
Si
, por valores menores que c, y la función
tiende al límite L, entonces
decimos que L es el Límite porla Izquierda, y denotamos:

C. Definición Limite Laterales
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c, es L, si y sólo si los Límites
Laterales existen y ambos son iguales.

Diremos que una Función f( x) no tiene límite cuando :
•
•

no se aproxima a un L ࣕ ব, si x tiende a c por la derecha o por la izquierda.
se aproxima a dos valores diferentes L1 y L2, es decir tiene LímitesLaterales
distintos.

Observemos que:
Para algunas funciones el cálculo del límite se puede simplificar, si acontece que al
evaluar la función cuando x = c existe f (c) , entonces :
c,

Esto es propio de Funciones Polinomiales, que permiten calcular el límite por
sustitución directa.

4

Ejemplo 1
Evaluar el
por izquierda.

utilizando el criterio de aproximación por derecha y1

1,5

1,9

1,99

1,999

3

2,5

2,1

2,01

2,001

Se ve claramente en las tablas que a medida que la variable x se aproxima a a por
ଵ
ambos lados, la función fue arrojando valores más cercanos a .
ଵ଺

Lo que se anota
Ejemplo 2
Encontrar el Límite de la Función:

cuando

Al evaluar con x = 0 en la función f(x) se determina que no está definida, pero esto
no tieneninguna importancia ya que por definición de límite, sólo se consideran los
valores de x cercanos a c, y no iguales a c, en este caso cercanos a cero.
Aproximemos el valor de x en la función al valor cero, según la siguiente tabla de
r
valores:
x
f(x)

-0,1
0,9

-0,01
0,99

-0,001
0,999

0
?

En esta aplicación se observa que cuando
puede concluir que:

0,001
1,001

0,011,01

la función

0,1
1,1
.por lo tanto se

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Sugerencias:
•

Cuando x → c; c número real, entonces se evalúa la función en x = c
଴
Si obtenemos la forma es lo que denominamos forma indeterminada, por lo
଴
que hay que arreglar la función utilizando factorización y simplificación,
división de polinomios o racionalización.

•

Cuando x → ∞ ; entonces:
Se debe dividir por...