La Conjetura de Poincaré

Problemas del Milenio

La Conjetura de Poincaré.
Agujeros y esferas
María Teresa Lozano Imízcoz
Universidad de Zaragoza
Sabadell, 8-3-2005
07/03/2005

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Henri Poincaré
1854-1912

Ingeniero de minas (1879)
Doctor en Ciencias
(Matemáticas) bajo la dirección
de Hermite.
Metódico, intuitivo,
memoria excepcional,
extraordinaria visión espacial y
gran poder de abstracción.Profesor en la Sorbona y en la
École Polytecnique (Paris)

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Contribuciones en física,
matemáticas y filosofía:
Funciones automorfas
(Fuchsianas)
Macánica celeste
Topología
Pensamiento científico
“Matemático,

geómetra,
filósofo, y hombre de letras,
una especie de poeta del
infinito, una especie de
trovador de la ciencia”
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Esquema
Introducción a latopología:
•Las esferas
•Concepto de n-variedad
•Problemas de topología

•Establecimiento de la conjetura
•Sus generalizaciones
•¿Su solución?
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La esfera Sn
Definición geométrica:

Vectores unitarios del espacio Euclideo En+1.
Sn={(x1, x2,…,xn+1)|Êxi2=1}
n=1
Circunferencia en el plano

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n=2
Esfera en el espacio

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La esfera S3
Dificultadespara dibujarla.
Algunas representaciones de esta esfera
– R3»{¶}. Proyección estereográfica.
– Unión de dos bolas tridimensionales.
– Identificación en la esfera borde de una
bola.
– Unión de dos toros sólidos.
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Topología:
• Geometría módulo deformaciones continuas
• Propiedades que se conservan por
deformaciones continuas.

¡Circunferencias!
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7Topología:
• Geometría módulo deformaciones continuas
• Propiedades que se conservan por
deformaciones continuas.

¡Esferas de dimensión 2!
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Topología:

Concepto de variedad Mn

• Un variedad Mn es un espacio donde cada
punto tiene un entorno homeomorfo a una
bola de dimensión n.
n

1

2

3

entorno

intervalo

disco

bola

Ejemplos:

R1, S1

R2, S2R3, S3

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Topología:

Concepto de variedad Mn

Problemas importantes:
• Clasificar las n-variedades:
Dar una lista completa sin repeticiones
• Caracterizar la esfera Sn:
Problema de Poincaré

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Superficies (2-variedades).

•Cada punto tiene un entorno
homeomorfo a un disco.
• Están clasificadas por su orientabilidad y género.
– Orientables:Fg, g ≥ 0.

S2=F0

F1

F2

–No orientables: Nk, k>0.
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Variedad tridimensional
• Localmente es como nuestro espacio
ambiente.
Cada punto tiene un
entorno homeomorfo a
una bola B3.
Imposibilidad de abarcar visualmente nuestro
universo desde el exterior.
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Superficies
• Desde dentro de la superficie
no es fácil saber de que superficie
setrata.

S2=F0
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F1

F2
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Procedimiento intrínseco:
Caminos cerrados dentro de la superficie.

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Procedimiento intrínseco:
Caminos cerrados dentro de la superficie.

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Procedimiento intrínseco:
Caminos cerrados dentro de la superficie.

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Procedimiento intrínseco:
Caminos cerrados dentro dela superficie.
En S2 se contrae a un punto.

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Procedimiento intrínseco:
Caminos cerrados dentro de la superficie.
En S2 se contrae a un punto.

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Procedimiento intrínseco:
Caminos cerrados dentro de la superficie.
En S2 siempre se contraen
a un punto.

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En otras superficies no
siempre es posible.

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En superficies:
•El grupofundamental, formado por las clases de
equivalencia de caminos cerrados que empiezan y
terminan en el mismo punto de una superficie, la
distingue de cualquier otra.
•La esfera S2 es la única superficie cerrada en la
que todo lazo (camino cerrado) se contrae a un
punto.
•La esfera S2 es la única superficie cerrada en la
que toda curva simple cerrada bordea (un disco).
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