La crisis economica mundial

Límite de una función
El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático. Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.

Definición formal

Funciones en espacios métricos

[pic]
[pic]Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a p será L si y solo sí para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo número real x en [pic], tenemos que
[pic]
El siguiente concepto de límite es el de la definición formal, la cual no es muy aprensible para el común de la gente. Dicha formulación matemática es másconocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de límite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el comportamiento de una función alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamiento precisamente en dicho punto.
Supóngase f : (M, dM) -> (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite def en p es L" y escribimos
[pic]
si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, p) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.
En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = a es L si se cumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda x:
si [pic], entonces [pic]
Observemos que la solución de la desigualdad0 < | x - a | < δ es la siguiente:
x pertenece a la vecindad ( a - δ , a ) U ( a, a + δ ): x no toca el valor de a, pues
0 < | x - a | implica x distinto de a,
mientras que la solución de | f (x) - L | < ε es la siguiente:
y pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).
Esto proporciona la clave de la comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de la x está en la vecindadhorizontal alrededor del punto "a" y agujereada en "a" con radio delta y centro "a", aun cuando en ese punto "a" no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(a) y radio épsilon.

Notación de límite

Límite de una función en un punto

Sea f una función real, entonces
[pic]([pic])
si y sólo si
para todo [pic]existe un δ > 0 tal que para todo númeroreal x en el dominio de la función
[pic]
Notación formal: [pic]

Indeterminaciones [editar]

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos [[pic] refiere al límite a infinito y [pic]al límite a 0 (no al número 0)]:
|[pic] |[pic] |
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|[pic] |[pic] |
| |[pic] |

Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo ydivisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes:
• [pic]
• [pic]
• [pic]

Propiedades de los límites

1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
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5. [pic]
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7. [pic]
8. [pic]
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10. [pic]
11. [pic](al igual que su recíproca)
12. [pic](al igual que su recíproca)
13. [pic](al igual que surecíproca)
14. [pic]f(x) acotada y g(x) infinitésimo
15. [pic]

Límite de una función

La idea intuitiva de límite forma parte del acervo popular. Tender a un límite significa aproximarse a una meta, que no siempre se logra alcanzar. En el ámbito matemático, esta idea se ha plasmado en una definición precisa que combina los conceptos de lo infinitamente pequeño (infinitésimos) y lo...