La culpa de la vaca

TALLER DE TALENTO MATEMÁTICO
19 de Noviembre 2010

SUMA DE LOS CUADRADOS Y LOS CUBOS DE NÚMEROS NATURALES CONSECUTIVOS
Y ALGUNAS CONSECUENCIAS"

1.- CONOCIMIENTOS AUXILIARES: SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA.

En este apartado se exponen los conocimientos previos para la comprensión del tema, puesto que no todos los alumnos conocían los conceptos de progresiónaritmética, términos general de una progresión y suma de los términos de una progresión.

Progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada uno de los términos, salvo el primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad constante d que se llama razón o diferencia de la progresión. Los términos de una sucesión se escriben [pic], …

Ejemplos: a) La sucesión de los númerosnaturales: 1, 2, 3, 4, 5, ···
b) La de los números impares: 1, 3, 5 , 7, 9, ···
c) La de los múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, ···

Término general o término n-ésimo de una sucesión: Es una expresión [pic]que depende de n tal que cuando n es igual a 1, obtenemos el primer término, si n es 2 el segundo término, si es 3 el tercero,…

Ejemplos: El término generalde las sucesiones:
a) 1, 2, 3, 4, 5, ··· es [pic]
b) 1, 3, 5 , 7, 9, ··· es [pic]
c) 5, 7, 9, 11, 13, … es [pic]
c) 5, 10, 15, 20, 25, 30, ··· es [pic]

Término general de una progresión aritmética: Si [pic], … es una progresión aritmética de razón d, el término general es [pic], esdecir,
se obtiene sumando al primer término de la progresión la razón multiplicada por (n-1)

Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética

[pic]
[pic]
Sn = [pic]
Sn =[pic]
2Sn = n [pic] de donde [pic]
Después de aclaradas las ideas primeras de sucesiones aritméticas les repartimos a losalumnos una hoja con cinco ejercicios que se iban a trabajar en la sesión para luego abordar los diez restantes ejercicios propuestos

Ejercicio 1. Demuestra que la suma de los n primeros números impares es n2.

Ejercicio 2.- Demuestra que la suma de los n primeros números naturales es
[pic]
Ejercicio 3.- Calcula la suma de los cuadrados de los n primeros númerosnaturales:
[pic]

Ejercicio 4.- Calcula la suma de los cubos de los n primeros números naturales:
[pic]
(INDICACIÓN PARA LOS EJERCICIOS 3 Y 4: Observa el siguiente método para calcular la suma de los n primeros números naturales:
Partimos de la identidad: [pic]
Sustituyendo n por n-1 [pic]
Sustituyendo n por n-2 [pic]
…
…
Sustituyendo n por 3[pic]
Sustituyendo n por 2 [pic]
Sustituyendo n por 1 [pic]

Sumando las igualdades
miembro a miembro [pic]

De donde, despejando [pic] tenemos que
[pic]

Ejercicio 5: Conjetura de Nicómaco de Gerasa (Siglo I) Cualquier cubo se puede expresar como diferencia de dos cuadrados.|ESTUDIO DE LOS INDICIOS |
| [pic] ([pic] |
| [pic] ([pic] |
| [pic] ([pic] |
| [pic] ([pic] |
| [pic] ([pic]|


(Indicación)

1+ 3 +5 +7 + 9 + 11+ 13 +15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + ···
1 8 27 64 125

¿Es casualidad o se deja de cumplir para valores grandes?

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1.- Calcula el número de .bolas esféricas apiladas en una pirámide de base cuadrada de lado n....