La Curva Normal Como Probabilidad

Distribución normal
Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N(μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.
La probabilidad equivale al área encerradabajo la curva.
Distribución normal estándar
N(0, 1)
La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.
Tipificación de la variable
Para poder utilizar la tabla tenemosque transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

Cálculo de probabiladades en distribuciones normales
La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable tipificada.
Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ(k).
Φ(k) = P(z ≤ k)
Búsqueda en la tabla de valor de k
Unidades y décimas en la columnade la izquierda.
Céntesimas en la fila de arriba.
P(Z ≤ a)

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)

P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

P(Z > −a) = P(Z ≤ a)

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )
Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la tabla el valor que más seaproxime a K.

P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]

p = K
Para calcular la variable X nos vamos a la fórmula de la tipificación.
Ejercicios y problemas de la distribución normal
1Supongamos que Z es una variable aleatoria que se distribuye según una distribución N(0, 1). Calcular:
1. P(Z ≤ 1.47)
2.P(Z > 1.47)
3.P(Z ≤ −1.47)
4.p(Z > 1.47)
5.P( 0.45 6.P(−1.47 8.p= 0.75
SOLUCIÓN
Supongamos que Z es una variable aleatoria que se distribuye según una distribución N(0, 1). Calcular:
1. P(Z ≤ 1.47)

P(Z ≤ 1.47) = 0.9292
2.P(Z > 1.47)

P(Z > 1.47) = 1 − P(Z ≤ 1.47) = 1 − 0.9292 = 0.0708
3.P(Z ≤ −1.47)

P(Z ≤ −1.47) = 1 − P(Z ≤ 1.47) = 1 − 0.9292 = 0.0708
4.p(Z > 1.47)

p(Z > 1.47) = p(Z ≤ 1.47) = 0.9292
5.P( 0.45
P( 0.45 = 0.9292 − 0.6736 = 0.2556
6.P(−1.47
P(−1.47 = P(Z ≤ 1.47) − P(Z ≤ 0.45) = 0.9292 − 0.6736 = 0.2556
7.P(-1.47 < Z ≤ 0.45)
P(-1.47 < Z ≤ 0.45) = P(Z ≤ 0.45) − [ 1 − P(Z ≤ 1.47)]=
= 0.6736 − (1 − 0.9292) = 0.6028
8.p= 0.75
p= 0.75Z ≤0.68
Para calcular la variable X nos vamos a la fórmula de la tipificación.
(X -μ)/σ = 0.68X = μ + 0.68 σ

Ejercicios y problemas resueltos de la distribución normal
2
Si X es una variable aleatoria distribuida según una distribución N(µ, σ), hallar:
p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)




Es decir, que aproximadamente el 99.74% de los valores de X están a menos de tres desviaciones típicas de la media.

Ejercicios y problemas resueltos de la distribución normal
3
En una distribución normal demedia 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que:
P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934






Ejercicios y problemas resueltos de la distribución normal
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En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.




Ejercicios yproblemas resueltos de la distribución normal
5
La media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:
1. Entre 60 kg y 65 kg.



2.Más de 90 kg.


3.Menos de 64 kg.


4.64 kg.

5.64 kg o menos.


Ejercicios y problemas resueltos de la distribución normal
6
Se...

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