La Derevada
Páginas: 21 (5075 palabras)
Publicado: 25 de septiembre de 2011
LA DERIVADA
Introducción:
Fue Isaac Newton que estudiando las leyes del movimiento de los planetas que Kepler había descubierto medio siglo antes, llegó a la idea de incremento de una función como se nos ofrece en dos ejemplos; la velocidad y la aceleración de los cuerpos en movimiento, conceptos básicos de la Dinámica.
En el Cálculo Diferencial es fundamental comprender esta idea deincremento que se asocia a la noción de derivada y ha permitido a lo largo de los siglos hallar soluciones a problemas como determinar la ecuación de rectas tangentes a una curva y calcular los valores máximos o mínimos de las funciones.
La derivada expresa la variación de las funciones entre dos puntos muy cercanos y se aplica a situaciones físicas como el cálculo de la velocidad de un móvil,conocida su ley de movimiento como también a la solución de otros problemas ligados a economía, demografía, costos, ingeniería, etc.
La interpretación geométrica de la derivada la identifica como la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado .
LA DERIVADA
SÍNTESIS TEÓRICA:
I.- DEFINICIÓN:
1. Analítica: Sea y=f(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x,denotada por [pic], se define por
[pic]
o bien
[pic] con tal de que este límite exista.
• a la derivada se le llama también coeficiente diferencial y la operación de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación.
• si la derivada de una función existe en un punto particular, significa que f es diferenciable en ese punto.
•La derivada de y=f(x) con respecto a x también se denota por símbolos tales como
[pic]
• [pic] representa un símbolo y no deberá interpretarse como un cociente.
2.- Geométrica : la derivada de una función representa la pendiente de la tangente a la curva y=f(x) en el punto cuya abcisa es x.
II.- METODOS DE DERIVACION
Dadas las múltiples aplicaciones de la derivacióna diferentes disciplinas de la educación superior, se hace necesario estudiar las formas en que se presenta esta operación del cálculo diferencial en ellas, y así sacarle el máximo provecho.
Existen dos métodos de derivación:
a) Derivación por pasos
b) Derivación por fórmulas
Cada uno de estos métodos se utilizan según las condiciones del problema a resolver, como esel primer método que se analizará más adelante en el caso de la economía, como la tasa de cambio de una función, o variación o incremento de la función producción, etc.
También se asocia el concepto de derivada en física, aplicada a la velocidad de un cuerpo en movimiento, la velocidad media e instantánea, etc.
III.- DERIVACION POR PASOS:
Procedimiento:
1st) Sea y=f(x) unafunción real derivable.
2nd) Cálculo de [pic]: reemplazar [pic]en lugar de x.
3rd) Restar f(x) a ambos lados de la igualdad.
4th) Despejar [pic], y dividir por [pic]
5th) Hallar el límite cuando [pic]
Ejemplo:
Hallar la derivada dada la función [pic]
Solución;
1st. Sea [pic]
2nd. [pic]
3rd. [pic]
4th. [pic]
5th. [pic]
III.- DERIVACIÓN POR FÓRMULAS:
• Propiedadessobre las funciones derivadas de funciones reales:
1) Se designa por; [pic]
2) Derivada de una constante; [pic]
3) Derivada de la función identidad; [pic]
4) Derivada de una constante por una función; [pic]
5) Derivada de una suma y/o resta; [pic]
6) Derivada de un producto; [pic]
7) Derivada de un cuociente; [pic]
8) Derivada de unapotencia; [pic]
9) Derivada de una raíz; [pic]
10) Regla de la cadena; [pic]
11) Derivada del logaritmo; [pic]
12) Derivada de exponencial; [pic]
13) [pic]
14) [pic]
15) [pic]
16) [pic]
17) [pic]
18) [pic]
EJERCICIOS RESUELTOS DEL METODO POR PASOS
1) Sea [pic]. Hallar:
a) derivada por pasos
b) analice que sucede para x=3
c) ecuación...
Introducción:
Fue Isaac Newton que estudiando las leyes del movimiento de los planetas que Kepler había descubierto medio siglo antes, llegó a la idea de incremento de una función como se nos ofrece en dos ejemplos; la velocidad y la aceleración de los cuerpos en movimiento, conceptos básicos de la Dinámica.
En el Cálculo Diferencial es fundamental comprender esta idea deincremento que se asocia a la noción de derivada y ha permitido a lo largo de los siglos hallar soluciones a problemas como determinar la ecuación de rectas tangentes a una curva y calcular los valores máximos o mínimos de las funciones.
La derivada expresa la variación de las funciones entre dos puntos muy cercanos y se aplica a situaciones físicas como el cálculo de la velocidad de un móvil,conocida su ley de movimiento como también a la solución de otros problemas ligados a economía, demografía, costos, ingeniería, etc.
La interpretación geométrica de la derivada la identifica como la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado .
LA DERIVADA
SÍNTESIS TEÓRICA:
I.- DEFINICIÓN:
1. Analítica: Sea y=f(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x,denotada por [pic], se define por
[pic]
o bien
[pic] con tal de que este límite exista.
• a la derivada se le llama también coeficiente diferencial y la operación de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación.
• si la derivada de una función existe en un punto particular, significa que f es diferenciable en ese punto.
•La derivada de y=f(x) con respecto a x también se denota por símbolos tales como
[pic]
• [pic] representa un símbolo y no deberá interpretarse como un cociente.
2.- Geométrica : la derivada de una función representa la pendiente de la tangente a la curva y=f(x) en el punto cuya abcisa es x.
II.- METODOS DE DERIVACION
Dadas las múltiples aplicaciones de la derivacióna diferentes disciplinas de la educación superior, se hace necesario estudiar las formas en que se presenta esta operación del cálculo diferencial en ellas, y así sacarle el máximo provecho.
Existen dos métodos de derivación:
a) Derivación por pasos
b) Derivación por fórmulas
Cada uno de estos métodos se utilizan según las condiciones del problema a resolver, como esel primer método que se analizará más adelante en el caso de la economía, como la tasa de cambio de una función, o variación o incremento de la función producción, etc.
También se asocia el concepto de derivada en física, aplicada a la velocidad de un cuerpo en movimiento, la velocidad media e instantánea, etc.
III.- DERIVACION POR PASOS:
Procedimiento:
1st) Sea y=f(x) unafunción real derivable.
2nd) Cálculo de [pic]: reemplazar [pic]en lugar de x.
3rd) Restar f(x) a ambos lados de la igualdad.
4th) Despejar [pic], y dividir por [pic]
5th) Hallar el límite cuando [pic]
Ejemplo:
Hallar la derivada dada la función [pic]
Solución;
1st. Sea [pic]
2nd. [pic]
3rd. [pic]
4th. [pic]
5th. [pic]
III.- DERIVACIÓN POR FÓRMULAS:
• Propiedadessobre las funciones derivadas de funciones reales:
1) Se designa por; [pic]
2) Derivada de una constante; [pic]
3) Derivada de la función identidad; [pic]
4) Derivada de una constante por una función; [pic]
5) Derivada de una suma y/o resta; [pic]
6) Derivada de un producto; [pic]
7) Derivada de un cuociente; [pic]
8) Derivada de unapotencia; [pic]
9) Derivada de una raíz; [pic]
10) Regla de la cadena; [pic]
11) Derivada del logaritmo; [pic]
12) Derivada de exponencial; [pic]
13) [pic]
14) [pic]
15) [pic]
16) [pic]
17) [pic]
18) [pic]
EJERCICIOS RESUELTOS DEL METODO POR PASOS
1) Sea [pic]. Hallar:
a) derivada por pasos
b) analice que sucede para x=3
c) ecuación...
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