La derivada y sus aplicasciones

Trabajo final de cálculo diferencial: La derivada y sus aplicaciones
Universidad nacional de Colombia
Administración de empresas
Lina María Hernández Giraldo

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo, concentra algunas características de las diferentes funciones y procesos de cálculo diferencial, referente al uso de la derivada. En cada una de ellas, se detallan algunas aplicaciones sobre lasciencias administrativas y la vida cotidiana.

Este tiene como objetivo comprender la importancia del estudio de la derivada en todos los campos de la vida, para lo cual es necesario realizar un recorrido por distintas nociones y conceptos que se aplican, con el fin de acercarnos un poco a su naturaleza.

Posteriormente, analizaremos algunos ejercicios propuestos y con ellos el desarrollo decada uno como método de aplicación y comprensión, en lo concerniente al método y procedimiento a seguir en búsqueda de su resultado más próximo.

Y finalizaremos con tres ejercicios especiales de la administración de Empresas en cuanto a optimización y de tasas de variación.

MARCO TEORICO

* Rapidez de cambio

La expresión representa el cociente entre la variación de la variabledependiente (función) y la variación experimentada por la variable independiente, por este motivo se le denomina razón media de cambio de la función f(x), cuando se toma el límite a esta expresión en que h → 0, es decir la derivada, se le denomina también razón instantánea de cambio.

Este concepto se aplica también en cinemática al expresar la posición de un cuerpo con movimiento unidimensional enfunción del tiempo x = x(t), en tal caso la razón instantánea de cambio de la posición, corresponde al concepto de rapidez instantánea.

Para encontrar entonces la razón de cambio se debe determinar en primer lugar la relación entre las variables mediante una función y posteriormente obtener su derivada.

* PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS
* Derivada de una suma
Si se tiene dosfunciones f y g derivables las dos en x, la función suma es derivable también en x, y se verifica la suma como:

* Derivada de un producto
Si f y g son dos funciones derivables en x, entonces la función producto es derivable también en x, y se verifica el producto como:

De la misma manera se tiene que si, donde m pertenece a los enteros positivos, entonces se verifica la derivada de una potencia:* Derivada de un múltiplo constante
Si f es una función que se puede derivar y c un número que pertenece al conjunto de los números reales, se comprueba que:

* Derivada de un cociente
La derivada de un cociente se expresa como: 

Donde f es una función y c un número perteneciente al dominio de la función de tal manera que:
y (b.f) derivable en x=c
Cuando se trata de dosfunciones f y g también derivable en x = c, con g(c) diferente de 0, entonces se tiene que la función cociente   f / g es derivable en    x = c, y la ecuación se comprueba para derivar un cociente de funciones en:

* REGLA DE LA CADENA
La regla de la cadena se enuncia si se tiene una función y = f(u) derivable de u, y u = g(x), es decir, derivable de x, entonces se puede afirmar que y = f[ g(x)] siendo función derivable de x, con:
 que es lo mismo que

* DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA
Derivar implícitamente es considerar uno de los términos (y) de una igualdad como función del otro término (x), para que después de tener la ecuación resultante se despeje el valor de dy / dx.
Para realizar dicho procedimiento se recomienda utilizar los siguientes pasos:
* Derivar los dos ladosde la ecuación respecto a x
* Aislar los términos que contienen en el lado izquierdo de la ecuación, y los demás en el lado derecho
* Factorizar dividiendo cada uno de los lados de la ecuación por el factor de la izquierda que no contiene
* Despejar

* PROPIEDAD GENERAL DE LAS POTENCIAS
Ampliemos un poco el concepto de la derivada de una potencia que está enunciada por las...