La derivada

LA DERIVADA
Si la ley de movimiento de una partícula puede ser expresada a través de la fórmula , esto quiere decir que en cada momento , nos es posible ubicar a dicha partícula en el eje , así, si quiero saber donde se encuentra la partícula 1 después de haber empezado el movimiento tengo que hacer la siguiente operación: , esto significa que 5 metros es lo que se ha desplazado el vehículo unsegundo después de haber empezado a desplazarse. De este modo podemos hacer esto para cualquier valor de .
Ahora, nos plantearemos resolver el siguiente problema: Encontrar la velocidad instantánea de un vehículo que se desplaza siguiendo la ley donde representa el desplazamiento del vehículo en un tiempo
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Figura 1: |
Podemos hacer esto para cualquier intervalo de tiempo, de este modopodemos representar una posición en un tiempo dado como un punto en el plano de la siguiente manera: Tomemos dos rectas que se cortan en ángulo recto en el plano; el punto de intersección de estas rectas lo llamamos origen, a la recta horizontal la llamamos eje del tiempo y a la recta vertical la llamamos eje de posición . Dividamos ambas rectas en varios segmentos de la misma longitud. Ahoratomemos el caso anterior en el que para , , este instante en el tiempo y el espacio queda representado por el punto formado por el punto formado por la intersección de las rectas horizontal que pasa a una altura 5 en el eje de las posiciones y la recta vertical que pasa por el (ver figura 1). Si esto lo hacemos para todo tiempo, notaremos que obtendremos una curva en el plano que llamaremos gráfica dela función.
Vale la pena hacer hincapié aquí, en la construcción hecha hasta este momento.
1. Hemos representado el tiempo por una recta y cada segundo que transcurre, por un punto de tal recta.
2. El desplazamiento en línea recta del vehículo lo representamos como una recta que corta al eje del tiempo formando un ángulo recto y cada punto de este eje representa la distancia decorridapor el objeto.
3. Un punto del plano determina una posición del vehículo para cada tiempo determinado.
4. La gráfica de la función representa el recorrido del vehículo en el tiempo. Esto significa que una curva representa la evolución en el tiempo de una partícula.
5. También se debe notar lo siguiente: Estamos estudiando una partícula en movimiento, es decir, una partícula materialdeterminada en un espacio y un tiempo dado. Espacio, tiempo, materia y movimiento, todos independientes entre si, pero siempre están unidos. No existe materia que no ocupe lugar o que se encuentre estática en el espacio y el tiempo.
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Figura 2: |
Prosigamos, más abajo seguiremos sacando conclusiones de todo esto, pero para ello tenemos que seguir avanzando en la solución del problema.Recordemos que el problema que queremos resolver, es encontrar la velocidad de una partícula en un tiempo dado, es decir, encontrar su velocidad instantánea. Pero, ¿ qué es la velocidad instantánea? ¿ cómo se determina?¿ geométrcamente (abstracto), qué es la velocidad instantánea?
La velocidad instantánea es la velocidad que lleva la partícula en un tiempo determinado. Para fijar ideas,consideremos una partícula que se mueve en línea recta siguiendo la ley dictada por la siguiente tabla.
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2 | 1 |
4 | 2 |
6 | 3 |
8 | 4 |
10 | 5 |
12 | 6 |
14 | 7 |
16 | 8 |
Notemos que el grafico de esta tabla es una línea recta. La velocidad está dada por la expresión si tomamos por ejemplo los puntos , en tal la velocidad es , este cociente es el mismo para cualesquiera puntos dela recta. A los movimientos cuya gráfica asociada es una línea recta que pasa por el origen, se les llaman movimientos rectilíneos uniformes (MRU). La velocidad tiene una interpretación geométrica:
Nombremos al ángulo formado por la recta y el eje .
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Figura 3: |
Podemos considerar el eje como el cateto adyacente de un triangulo rectángulo con una longitud con un cateto opuesto de...