la derivada

Interpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.


La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)


Ejemplos
Dada f(x) = x2, calcular lospuntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.






Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2− 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.








Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.
Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2sean iguales.
f'(1) = f'(2)
f'(x) = 3b2x2 + 2bx + 3
f'(1) = 3b2 + 2b + 3
f'(2) = 12b2 + 4b + 3
3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3
9b2 + 2b = 0
b = 0 b = −2/9


Interpretación física de la derivada
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).




Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es el límite de la velocidadmedia cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.




Ejemplo
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:
1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

2 La velocidad instantánea en t = 1.
La velocidad instantáneaes la derivada en t = 1.





¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.




Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 1000t² , siendo t el tiempo metido en horas. Se pide:
1. La velocidad media de crecimiento.2. La velocidad instantánea de crecimiento.

3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t0 = 10 horas.

Z







9.9.1. Interpretación Geométrica De La Derivada
Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo, data del gran científico griego Arquímedes (287 – 212 a.C.) es el llamado: problema de las tangentes y que se describe acontinuación.
Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (fig. 9.5.).

fig. 9.5.
Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P.
La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante.
Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces, laposición límite (si existe) de la secante, se denomina: la recta tangente a la curva en P.
Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente: , (Ver fig. 9.6.), entonces, la pendiente de la recta secante , denotada por viene dada por:


fig. 9.6.
En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya pendiente viene dada por:De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en es:
(Punto – Pendiente)
En los ejercicios 8, 9 y 10 de la sección 9.10. se ilustra la interpretación geométrica de la derivada.


9.9.2. Interpretación Física De La Derivada

Velocidad promedia y velocidad instantánea
Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km., en un tiempo de 2 horas,...