La Derivada

LA DERIVADA La derivada de una función se puede utilizar para determinar la tasa de cambio de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. A través de la derivada se puede obtener la ganancia, el costo y el ingreso marginal, dadas las respectivas funciones de ganancia, costo total e ingreso total, además de otras tasas de cambio como de la tasas de cambio de las poblaciones yde la velocidad. También se puede utilizar para hallar la pendiente de una tangente a una curva en un punto sobre la curva. Además la derivada es utilizada para minimizar el costo promedio, maximizar el ingreso total maximizar la ganancia y determinar la elasticidad en la demanda. La tasa de cambio promedio de una función y=f(x) de x=a a x=b está definida por:
y

(x+h ,f (x+h ))

f (x+h )(x,f (x)) f (x)

h

x

x+h
x

Según la figura la tasa de cambio promedio es igual a la pendiente del segmento (x, f(x)) y ((x + h), f( x +h)) así

, es decir

Ejercicio 22 Suponga que el costo total en dólares de una compañía por producir x unidades esta dado por C(x)= 0.01x2+25x+1500. Encuentre la tasa de cambio del costo total para: Las primeras 100 unidades producidas (x=0 a x= 100)Las segundas 100 unidades producidas

Tasa de cambio instantánea Suponga que un objeto que se mueve en línea recta tiene su posición y en un momento x dado por y=f(x). Entonces, la velocidad del objeto en el momento x es:
, si este límite existe

Ejercicio 23 Suponga que se lanza directamente hacia arriba una pelota de modo que su altura f(x) (en pies) se obtiene mediante la ecuaciónf(x)=96+64x-16x2
Encuentre la velocidad promedio de x=1 a x=1+h

Pendiente de la Tangente A la gráfica y=f(x) en el punto A(x1,f(x1) es

Si ese límite existe. ES decir, m=f´(x), la derivada en x=x1. Ejercicio 24 Encuentre la pendiente de y=f(x)=x2 en el punto (2,4)

DERIVADA Si f es una función definida por y=f(x), entonces la derivada de f(x) para cualquier valor de x, denotada f`(x), esSi este límite existe. Si f`(c) existe, decimos que f es diferenciable en c. Si y= f(x) la derivada de y con respecto a x se denota y´ o

o

o Dxy o Dx[f(x)]

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Ejercicio 25 Encuentre la derivada de cada función f(x) = 2x f(x) = x2 f(x) = x3+1 f(x) = 3x2-2x+1

Problema 14 La función ingreso total de un productoestá dada por R=R(x), donde x es el número de unidades vendidas. Entonces el ingreso marginal para x unidades es:

Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por Donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente.  Encuentre la función que da el ingreso marginal para cualquier valor de x.  Encuentre el ingreso marginal cuandose venden 20 000 barriles, es decir x=20. Remplazando

Como x=20

Si se incrementa la producción en 21 mil barriles el ingreso se incrementa en 60 mil dólares

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Fórmulas de la Derivada Si f, g y h son funciones definidas en x y k ЄR
Tipo Constante Función Derivada

f(x)=k f(x)=kx f(x)=xn
y f(x)=kxn

f´(x)=0f´(x)=k f´(x)=nxn-1 f´(x)=k.nxn-1

Ejemplos  Si f(x)=5, f´(x)=0  Si f(x)=-2, f´(x)=0  Si f(x)=3x, f´(x)=3  Si f(x)=-0.5x, f´(x)=-0.5x
 

Múltiplo constante Potencia

Si f(x)=x4, f´(x)=4x3 Si f(x)=x-3, f´(x)=-3x-4

Múltiplo Potencia Suma

 Si f(x)=5x4,f´(x)=20x3  Si f(x)=-6x5,f´(x)=-30x4  Si f(x)= x3+4x2-3x+2, f´(x)=3x2+8x-3 
-

f(x) = [g(x) ± f´(x)=g´(x) ± h´(x) h(x)] f(x)[g(x).h(x)] = f´(x)=g´(x) ± h´(x)

,

-

-

-

Multiplicación

 f(x)=(x2+2)(3x-1) f´(x)=2x(3x-1)+(x2+2)3 = 6x2-2x+3x2+6 = 9x2+2x+6  f(x)=x3/2(3x2-x-1) f´(x)= = ,
-

-

-

-

-

-

-

Cociente

k

 

-

Cociente

 

Ejercicios 26 Derivar cada una de las siguientes funciones f(x) = - 4 f(x)=x5 f(x)=4x2 f(x)= Problemas 15 1. El costo (en dólares) de...