La derivada

Derivada.
En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una cantidad en un punto dado o sea la velocidad de crecimiento o variación; por ejemplo, la derivadade la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.
La derivada de una función en un valor de entrada dado describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en lagráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.
El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciación es elproceso inverso de la integración en funciones continuas.
Historia de la derivada.
Los problemas típicos que dieron origen al Cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Newton y Leibniz).
En lo que atañe a las derivadas existen dosconceptos de tipo geométrico que le dieron origen:
El problema de la tangente a una curva (Apolonio)
El problema de los extremos: máximos y mínimos (Fermat)
En su conjunto dieron origen a lo que moderadamente se conoce como cálculo diferencial.
Newton y Leibniz.
A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos "derivadas" e"integrales". Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos(Teorema fundamental del cálculo).
Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar lasbases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable "fluye"(varía) con el tiempo.
Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fué el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó uncarácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fué quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: Cálculo diferencial y Cálculo Integral, así como los símbolos dx/dy y el símbolo de la integral.
Conceptos y aplicaciones.
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otroconcepto es la "anti derivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.
La derivada es unconcepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la...