La Derivada

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA – SJ
“Norte de la universidad peruana”
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

TEMA : “DERIVADAS”

ASIGNATURA : ANALISIS MATEMATICO I

DOCENTE : kilui

ALUMNOGUERRERO DIAZ ROYBER


AÑO : 1º

CICLO : II



INTRODUCIÓN

La derivada es una de las herramientas más poderosas en la matemática superior. En efecto, es indispensable para las investigaciones no elementales en las ciencias naturales como es en las ciencias sociales y las humanidades.

Las primerasideas de derivadas aparecieron de una forma un tanto obscuras en el siglo XVIII, como consecuencia del estudio de las velocidades, hechos por el matemático y físico ingles NEWTON y el estudio sobre tangentes de las curvas hecho por el matemático y filosofo LEIBNIZ.

En este capítulo realizaremos el estudio de la derivada de una función, que es un instrumento matemático muy potente, y sirve parael estudio del cálculo diferencial. Al proceso seguido para hallar la derivada de una función se le conoce como DIFERENCIACION.

DERIVADAS
INCREMENTOS
Sea y = f(x) una función real y x0, x1є Domf(x), ocurre dos casos:
a. Si el valor de la variable independiente x cambia a x0, entonces la diferencia x1- x0, se le llama un incremento de x, es decir: Δx = x1- x0.
b. Análogamente, siy0 = f(x0) e y1 = f( x1), entonces la diferencia Δy = y1- y0, o bien, Δy = f( x1)- f(x0), significa el incremento de la variable y; de :
Δy = y1- y0, despejando del caso anterior y reemplazando obtenemos:
Δy = f (Δx + x0) - f (x0), o también
Δy = f (h + x0) - f (x0).

DEFENICION:
Considerando una función real de variable real f: R→R uniforme y continua, y = f(x), si x є Dom f(x), entoncesla derivada de la función f con respecto a ´´x´´ la definiremos por las expresiones:
f´(x)=limΔx→0fΔx+ x0- f(x0)Δx
f´(x)=limh→0fh+ x0- f(x0)h
f´(x)=limx→x0fx- f(x0)x- x0
NOTACIÓN:Sea: y = f(x), la derivada se puede expresar de las siguientes maneras:dydx; y´; Dxf; Dxy |

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Sea la función f: R → R, definida en cierto entorno del punto x0 є R, si larelación fh+ x0- f(x0)h, tiene limite cuando h → 0, entonces este limite se llama derivada de la función f en el punto x0 y se denota por f (x0), de modo que:
f´(x)=limh→0fh+ x0- f(x0)h
OBSERVACIÓN: decir que existe el límite f´(x) significa dos casos:
a) f´(x) es un número real único. Es decir el límite por la derecha de x y por la izquierda de x, de la función fh+ x0- f(x0)h son números realese iguales.

b) f´(x) no es +∞, ni -∞.

Si por el contrario, ocurre uno de los siguientes tres casos:

CASO 01Si existen los limites laterales limx→x0-fx- f(x0)x- x0 y limx→x0+fx- f(x0)x- x0 , pero no son iguales; entoncesdiremos que f no es derivable en x0. Es el caso de la función f(x) = |x|, que no es derivable en x = 0. |

CASO 02Si el limx→x0+fx- f(x0)x- x0 = ±∞, entoncesdiremos que no existe la derivada de f por la derecha de x = x0. |

CASO 03Si limx→x0-fx- f(x0)x- x0 = ±∞, diremos que no existe la derivada de f por la izquierda de x = x0. Es el caso de la función f(x) = 3x, que no existe la derivada de f en x = x0. |



INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICAMENTE
DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD
Existe una estrecha relación entre la derivada y la continuidad de unafunción en un punto, en cuyo caso es fundamental la definición alternativa de la derivada f´(x)=limx→x0fx- f(x0)x- x0, pues la existencia de límite, exige la igualdad de los límites laterales. Por conveniencia, citaremos estos límites laterales como derivadas laterales por la derecha y por la izquierda.
TEOREMA:Sea f una función y x0 є Domf, si la función y = f(x) es derivable en x0, entonces...