La Derivada3 ANALISIS MARGINAL 2013 1


LIMITE DE FUNCIONES

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Historia
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.[1] Sin embargo, su trabajo nofue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d’analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.[2] La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860[3] y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
La notación de escritura usandola abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]
Introducción a límite

1) Considera la función f(x) = x² + 1 para contestar las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el valor de la función si x = -2?
b) ¿Cuál es el valor de la función si x = 3?
c) Construye la gráfica de la función.
d) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función?
e)¿Qué tipo de gráfica representa la función?

2) El propósito de este ejemplo es observar el comportamiento de la función
f(x) = x² + 1 para valores cercanos a un valor c. Esto es, ¿están los valores de f(x) cerca de algún valor en particular cuando x se aproxima a un número? ¿Cuál es ese valor? Utiliza la función dada para contestar las preguntas a continuación.
a) ¿A qué valor se acercan losvalores de f(x) mientras x se aproxima a 3 por la izquierda?. (Completa la tabla y observa los valores de f(x) para contestar)

X
2.9
2.99
2.99
f(x)




b) ¿A qué valor se acercan los valores de f(x) mientras x se aproxima a 3 por la derecha? (Completa la tabla y observa los valores de f(x) para contestar).
X
3.1
3.01
3.001
f(x)




c) ¿Cómo comparas el valor a que se acercan los valores de f(x)mientras x se aproxima a 3 por la izquierda y el valor a que se acercan los valores de f(x) mientras x se aproxima a 3 por la derecha? (Observa las respuestas obtenidas en las preguntas a y b).
d) ¿Cómo comparas el valor de la función cuando x = 3 con el valor a que se acercan los valores de la función cuando x se aproxima a 3 por la izquierda y por la derecha?

2) Considera la función
1. ¿Quétipo de función es f(x)?
2. ¿Cuál es el dominio de f(x)?
3. Completa la siguiente tabla de valores:
X
1000
100
10
0.1
0.01
0.001
f(X)
 
 
 
 
 
 
4. ¿Qué ocurre con los valores de f(x) cuando x se aproxima a cero por la derecha?
5. ¿Se acercan los valores de f(x) a un valor en particular?
6. Completa la siguiente tabla de valores:
X
-1000
-100
-10
-0.1
-0.01
-0.001
f(x)
 
 
 
 
 
 

7. ¿Quéocurre con los valores de f(x) cuando x se aproxima a cero por la izquierda?
8. ¿Se acercan los valores de f(x) a algún valor en particular?

Los tipos de límites en los que f(x) se hace infinito cuando x tiende a c por la izquierda o por la derecha se conocen como límites infinitos.
¿Qué ocurre cuando x se aproxima o tiende a cero en la función

Cuando x tiende a cero por la derecha, los valores dela función que son positivos, se convierten arbitrariamente grande. Es decir, los valores de la función aumentan. Mientras que, cuando x tiende a cero por la izquierda, los valores de la función son negativos, se convierten arbitrariamente menores. Es decir, los valores de la función disminuyen. Gráficamente en ambos casos, f(x) crece o decrece sin tope, sin fronteras. Esto es,

Nota: El símbolode infinito no significa que el límite existe, no representa un número real. Por el contrario, nos dice que el límite no existe. Simboliza el comportamiento no acotado (sin fronteras) de f(x) cuando x tiende a c. De manera que, al decir que “el límite de f(x) cuando x tiende a c es infinito” estamos diciendo que el límite no existe.

Definición informal de Límite

Sea f una función. Estamos...