La Derivda

LA DERIVADA

PROF. JULIO SOTO SANCHEZ

I. CONSTRUCCION GEOMETRICA DEL CONCEPTO: DERIVADA DE UNA FUNCION.

1. Sea y=f(x), [pic], una función cuya grafica esta dada por la curva C.

[pic]
2. Sobre la curva C, tomemos dos puntos: A=(x,f(x)), [pic]. Donde: [pic]
3. Por los puntos A y B , tracemos una recta secante [pic]
4. Cuando [pic], de modo que el punto A semantiene fijo sobre la curva C, y el punto B, se desplaza hacia el punto A sobre la curva, sin llegar a tocarlo, ocurre simultáneamente que el punto [pic] como límite.
5. Si efectuamos el análisis, teniendo en cuenta la variación de la tangente del ángulo formado por [pic] y el eje x, desde su posición inicial: [pic], hasta su posición final: [pic] ; observamos que el desplazamiento del punto B,sobre la curva hasta el punto A, hace que la recta: [pic] se convierta finalmente (en el límite) en una recta [pic] en el punto A. Ver fig. 2.

[pic]
6. La geometría descrita en los pasos 4 y 5, podemos expresarlo en su forma algebraica como:
a) En la posición inicial de la recta [pic] , en el triángulo rectángulo ABM, se tiene: [pic]
b) En la posición final, para [pic],se tiene:
[pic]…. [pic]

A partir de la relación [pic] se establecen las dos definiciones siguientes y la interpretación geométrica de la derivada evaluada en el punto x.

DEFINICION 1.
Denominamos FUNCION DERIVADA DE LA FUNCION y=f(x), a la nueva función g(x), que resulta de evaluar : [pic], (lo simbolizamos como f´(x)).

DEFINICION 2.
Denominamos DERIVADA DE LA FUNCION:y=f(x), EVALUADA EN EL PUNTO x=a, al valor numérico de f´(x) cuando x=a, lo simbolizamos como: f´(a).

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION EVALUADA EN: x=a.
La derivada de la función f(x) evaluada en x=a: f´(a), representa numéricamente al valor de la tangente del ángulo que hace la recta tg a la curva C con el eje x, cuando x=a. Es decir que f´(a) representa la pendientede la recta tangente a la curva en x=a.
NOTA.-
Recuerde que por definición de pendiente se tiene: [pic] (ver fig.3)

RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL.

[pic]

La recta tangente a la curva C, en x=a: [pic]. es la recta tangente que pasa por el punto: [pic] perteneciente a C, y tiene por pendiente [pic]. Por la forma punto pendiente de la ecuación de una recta se tiene:
[pic]
La recta quepasa por el punto: [pic], y es perpendicular a [pic]. en A, se denomina recta normal: [pic].
Puesto que [pic], tiene por pendiente: [pic] , entonces la pendiente de [pic] es: [pic] . Entonces la ecuación de [pic] es:
[pic]

DERIVADAS LATERALES.
En la definición de derivada, se halló el límite del cociente de [pic]entre [pic]cuando [pic], sin especificar que [pic] se aproximaba a cero porla derecha o por la izquierda de cero. Puede ocurrir, que de modo específico ocurra: [pic], ó , [pic]. El análisis de éstos dos casos nos conducen a las definiciones de derivadas laterales.

DEFINICION DE DERIVADA LATERAL POR LA DERECHA.
[pic]
TEXTO: La derivada lateral de la función f(x) por la derecha de x=a, es igual al límite del cociente de [pic]entre [pic]cuando [pic]. Si éste límiteexiste y es finito, diremos que la función f(x) es derivable por la derecha de x=a.

DEFINICIÓN DE DERIVADA LATERAL POR LA IZQUIERDA.
[pic]

DEFINICIÓN.
Diremos que la función f(x) es derivable en: [pic]
TEXTO: f(x) es derivable en x=a, s.s.s. la función es continua en dicho punto y las derivadas laterales evaluadas en x=a, son iguales.

FUNCION CONTINUA Y NO DERIVABLE EN x=a.
Cuandola función f(x) es continua en x=a, y las derivadas laterales son diferentes en dicho punto diremos que la grafica de la función presenta un extremo en punta (pico) en x=a, ó que, en x=a, f(x) posee un punto anguloso. Analíticamente éste caso se conoce como: FUNCIÓN CONTINUA Y NO DERIVABLE EN x=a. Ver grafico de la figura 4.

[pic]
COMENTARIO.
La geometría de la fig. 4 nos muestra que la...