La diagonalización de endomorfismos

5.2 Introducción a
la diagonalización de endomorfismos
En el capítulo de matrices y aplicaciones lineales vimos que toda aplicación lineal entre espacios vectoriales
tenía asociada una matriz respecto de una base determinada y que esta matriz determina la aplicación.
Si consideramos otra base, podemos calcular la matriz asociada a la aplicación respecto de la nueva base
(A0) utilizando lamatriz de cambio de base (C)
A0 = C−1AC
A la vista de esto, podemos preguntarnos si dada una aplicación podemos encontrar una base de manera
que la matriz A0 respecto de la nueva base sea más sencilla respecto de la base antigua. De hecho, lo mejor
sería que fuese diagonal.
Desgraciadamente no todas las matrices son diagonalizables, el objetivo de este capítulo es encontrar la
forma ”mássencilla” en que podemos transformar una matriz mediante un cambio de base.
En el espacio vectorial real R3 consideramos el subespacio V1 = {(x, y, 0) | x1, x2 ∈ R}. Si consideramos
la base canónica en R3 y S es la simetría con respecto al subespacio vectorial V1, es decir, respecto del plano
z = 0, se tiene que
S(e1) = e1, S(e2) = e2, S(e3) = −e3
Por lo tanto la matriz respecto de la basecanónica es
⎛1 0 0
0 1 0
0 0 −1⎠
• Podemos definir la simetría respeto de cualquier subespacio vectorial de R3.
Consideremos ahora el subespacio V2 = {(x, y, z) | x − y + 2z = 0}. Queremos encontrar las ecuaciones de
la aplicación Simetría respecto de la base canónica. La idea es buscar otra base (de R3) en la que la matriz de
la aplicación sea lo más sencilla posible. Esta base la componen dosvectores del subespacio V2 y otro vector
perpendicular a ambos. Por ejemplo B = {(1, 1, 0), (−2, 0, 1), (1, −1, 2)}.
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La simetría cumplirá
S(u1) = u1, S(u2) = u2, S(u3) = −u3
de manera que la matriz buscada es
S0 =
⎛
⎝1 0 0
0 1 0
0 0 −1⎠
Utilizando la matriz de cambio de base (de B a la base canónica)
C =
⎛
⎝1 −2 1
1 0 −1
0 1 2⎠

Calculamos la matrizrespecto de la base canónica S, sabiendo que S = CS0C−1
S =

⎛
⎝2 1 −2
1 2 2
−2 2 −1
La expresión algebráica de la aplicación queda
S(x, y, z) =
μ
23x +13y −23z,13x +23y +23z, −23x +23y −13z¶
Son dos las razones fundamentales por las que puede ser necesario simplificar la matriz asociada a una
aplicación:
1a Es una razón puramente computacional: en ocasiones, para resolver algunosproblemas necesitamos realizar
varias operaciones con las matrices asociadas a las aplicaciones (exponenciar una matriz, invertirla,...),
estas operaciones se complican si la matriz tiene muchas entradas (es decir, pocos ceros).
Ejemplo 1 (Rotación)
Sea Rα la rotación en el plano de un ángulo α. Supongamos que queremos rotar un punto 9 veces. Esto
supone componer la rotación tantas veces comoqueremos rotar el punto. Sea
μ
cosα −sen(α)
sen(α) cos(α)
¶
La aplicación que buscamos tendrá como matriz asociada la matriz
μ
cosα −sen(α)
sen(α) cos(α)
¶9
Estos cálculos resultan terriblemente tediosos. El objetivo de este capitulo será encontrar una matriz más
sencilla en la que realizar estas operaciones.
2a La segunda razón es más geométrica. Si observamos con atención algunasaplicaciones lineales veremos
que hay subespacios vectoriales cuyos vectores, al transformarlos mediante una aplicación, siguen
perteneciendo al mismo subespacio.
Observemos, por ejemplo, en la simetría del Ejemplo 1, los vectores del plano siguen estando en dicho
plano; o en una rotación en el espacio respecto al eje Z, los puntos de dicho eje siguen perteneciendo al
eje después de girarlos.
A estetipo de subespacios les llamamos invariantes.
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5.3 Subespacios Invariantes. Diagonalización de matrices.
Definición 30 Dado un espacio vectorial V y una aplicación lineal f de V a V , diremos que el subespacio W
de V es invariante respecto a f si f (W ) ⊂ W, es decir, la imagen f (x) de todo vector x ∈ W es un elemento
de W .
Definición 31 Un vector x 6=0 de un...