La diferencial

Páginas: 6 (1317 palabras) Publicado: 11 de febrero de 2015
"Sumas de Riemann"
Consideraremos una función real y = f(x) positiva y acotada, definida en el intervalo cerrado [a, b].
Se llama integral definida de la función f(x)0 entre a y b (los límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b.
Comenzaremos con las definiciones de suma superior y suma inferiorde Darboux de una función definida en un intervalo [a, b], asociadas a una partición del mismo. Estas sumas son aproximaciones al área que queremos calcular.
Veremos algunas de sus propiedades, en particular las referentes a la relación entre ambas sumas y a su comportamiento cuando se consideran particiones cada vez más finas (que corresponderán a aproximaciones del área cada vez mejores).Estas propiedades nos garantizan la existencia del supremo de las sumas inferiores y del ínfimo de las sumas superiores, siendo estos valores las integrales inferior y superior, respectivamente, de Darboux, en el intervalo [a,b].
Al ser f positiva en [a,b], estos valores nos proporcionan estimaciones, por debajo y por arriba del área encerrada por f en [a,b]. Se dirá que f es integrable Darboux en[a,b] si "ambas aproximaciones coinciden". La integral de Riemann se define de forma ligeramente diferente, a partir de particiones evaluadas. La integral de Riemann y la de Darboux son equivalentes. Debido a este hecho nos referiremos como Integral de Riemann a todas ellas. En este caso se define la integral de f en el intervalo [a,b] como el valor común de las integrales inferior y superior.Daremos el criterio de integrabilidad de Riemann que nos permite estudiar la integrabilidad de una función sin necesidad de calcular las integrales superior e inferior. Esto nos permite hacer diferentes tipos de aproximación de la integral.
Entre las propiedades fundamentales de la integral veremos la linealidad, la monotonía y la aditividad respecto del intervalo.

Suma de Riemann superior einferior.
Sea P = {x0, x1, x2,..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

La suma superior de f respecto de la partición P se define así:

S (f, P) = cj (xj - xj-1)
donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].

La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:

I(f, P) = dj (xj - xj-1)donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].

Variación de las sumas de Riemann
Sea P = {x0, x1, x2,..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o superior, y elárea siempre aumenta. Es decir:
I (f, P) I (f, P') para todo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que aumenta:



La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o inferior, y el área siempre disminuye. Es decir:

S (f, P') S (f, P) paratodo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que disminuye.



Integral de Riemann superior e inferior. Funciones Riemann-Integrables

Sea f una función acotada definida en un intervalo cerrado [a, b]. Se define:

la integral superior I*( f ) = inf { S(f, P) : P es partición de [a, b] }
la integral inferior I*( f ) = sup { I(f, P) : P espartición de [a, b] }

Entonces si I*( f ) = I*( f ) la función f es Riemann-Integrable y la integral de Riemann de f sobre el intervalo [a, b] se denota por:


f(x) dx

Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta...
Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.

Estos documentos también te pueden resultar útiles

  • Diferencial
  • Diferencial
  • El diferencial
  • diferenciales
  • diferencial
  • diferencialismo
  • Diferenciales
  • Diferencial

Conviértase en miembro formal de Buenas Tareas

INSCRÍBETE - ES GRATIS