La Dinámica De La Expansión

La obtención de las ecuaciones que rigen la evolución del universo puede hacerse con argumentos de la física clásica y utilizando cálculo sencillo al alcance de cualquier alumno de bachillerato. Esta posibilidad es debida al principio cosmológico: condición de homogeneidad e isotropía del universo a gran escala que nos permite utilizar la dinámica newtoniana como una excelente aproximación.Si elegimos una región esférica del universo, lo suficiente grande para que la condición de homogeneidad e isotropía sea una buena aproximación, pero lo suficiente pequeña para que las velocidades de alejamiento de las galaxias se mantengan muy por debajo de la velocidad de la luz, un famoso teorema nos asegura que podemos ignorar las fuerzas gravitatorias producidas por el resto de la masa deluniverso y aplicar la aproximación newtoniana de la relatividad general a dicha región esférica.
Así, si imaginamos una galaxia en el mismo borde de la esfera que se mueve con velocidad v, podemos aplicar el principio de conservación de la energía en analogía al lanzamiento de un proyectil desde la superficie terrestre como:

energía cinética + energía potencial = constante



donde Res el radio de la esfera, G la constante newtoniana de gravitación y M es la masa que se encuentra en el interior de la esfera elegida. Según las observaciones disponibles hasta el momento podemos afirmar que una esfera del orden de unos pocos centenares de Mpc cumpliría esa condición de homogeneidad e isotropía con gran precisión.
Podemos poner la masa del interior de la esfera en funciónde la densidad media r como M= 4/3 p r R3, y la velocidad de expansión como v=dR/dt. Eligiendo adecuadamente el valor de la constante relacionada con la energía obtenemos la siguiente ecuación (ec.1) para la evolución del parámetro R(t):

v2 = [dR/dt]2 = 8/3 p G r R2 - K c2 [ec. 1]

Donde c es la velocidad de la luz. Ahora la nueva constante adimensional K que aparece en laecuación anterior está relacionada con la geometría del universo. Por supuesto, ésta no tiene más interpretación en la aproximación newtoniana que la de una mera constante de integración (asociada a la energía por unidad de masa de una partícula como una galaxia). Sin embargo, esta última ecuación diferencial es exactamente la misma que se hubiera obtenido de un tratamiento rigurosamente relativista,donde la constante K sí que tiene un significado preciso:


K < 0, el universo tiene una geometría espacial local hiperbólica (tipo silla de montar).

K = 0, el universo tiene geometría espacial plana o euclídea.

K > 0, el universo tiene geometría esférica y se dice que es cerrado, puesto que su volumen es finito.


Representación del parámetro de expansión a frente al tiempo enlos tres casos de universos posibles con geometría trivial. Expansión eterna (K£0) y futura contracción (K>0). Se acompaña de una analogía bidimensional del tipo de geometría implicada.


Universos con K£0 se denomina abiertos. La constante K está íntimamente relacionada con la densidad media de materia del universo. Si hallamos el valor de la densidad para la cual K = 0 obtenemos, porsustitución en la ec.1 y simplemente despejando:



donde H(t) no es más que la constante de Hubble para cualquier instante t del universo , es decir H = v/R. Ésta es la denominada densidad crítica. En el presente del universo, la densidad crítica es

r0 = 3H02/8pG = 1.8791 h2 10-29 g/cm3

siendo h la constante de Hubble en unidades de 100 km/s/Mpc. En términos más intuitivos, estadensidad corresponde a una densidad tan baja como la de la masa de 5-6 átomos de hidrógeno por metro cúbico.

Se suele definir un parámetro de densidad W como la relación entre la densidad del universo en unidades de la densidad crítica (W = r/r0) . Si la densidad de materia actual del universo es igual a la densidad crítica, en otras palabras, si W = 1, estamos en el caso de un universo de...