LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
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Publicado: 17 de septiembre de 2015
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
De todas las distribuciones de probabilidad esta es la más importante de todas, porque se aplica en muchos campos como investigación de mercados, publicidad, ventas, costos, control de calidad, etc. La distribución normal trabaja con variables continuas en cambio la distribución binomial y la de Poisson trabajan con variables discretas. Cuando una variable es continuacalcular la probabilidad P(X≥5) = P(X>5) o la probabilidad P(X<5) = P(X≤5), esto se cumple por que la probabilidad de que P(X=5) = 0 por que la probabilidad para un valor cuando la variable es continua vale 0 en calculo integral equivale a integrar cualquier función entre limites iguales que vale 0.
La distribución normal tiene la siguiente representación gráfica:
Algunas propiedades de ladistribución normal son:
1. Es simétrica respecto de su media, μ;
2. Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x = μ + σ.
3. Distribución de probabilidad en un entorno de la media:
1. en el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución;
2. en el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución;
3.por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmenteen la normal estándar.
La distribución normal depende de dos parámetros: de la media aritmética de la población estadística que se representa por la letra del alfabeto griego Mu µ y de la desviación estándar de la población estadística que se representa por la letra del alfabeto griego Sigma Ơ
Ejemplo:
Si el costo de las matrículas de los estudiantes de pregrado por semestre de la sede de laurelesse distribuye normalmente y la matricula promedio por estudiante y por semestre es de 5.000.000 y la desviación estándar es de 1.000.000 y este semestre se matricularon en la sede de laureles en pregrado 13.500 estudiantes. Calcular cuántos estudiantes pagan una matrícula mayor a 4.000.000.
X = representa el costo de la matrícula de un estudiante por semestre
µ = El costo promedio de la matrículade un estudiante es 5.000.000
Ơ = la desviación estándar que en este ejemplo representa la variabilidad promedio del costo de la matricula por estudiante es de 1.000.000
P(X≥4.000.000) = 1 – P(X≤4.000.000) = 0.84134 * 13.500 = 11.358, se espera que 11.358 estudiantes el costo de la matricula este semestre fue mayor a 4.000.000
Ejercicio 2
La empre MAC, que produce baterías para vehículosproduce una referencia de batería que dura en promedio 2.5 años, con una desviación estándar de 0.5 años. La duración de las baterías se distribuye de forma normal, calcular e interpretar las siguientes probabilidades:
1. cuál será la probabilidad de que una batería no cumpla con la garantía, si para este tipo de baterías la empresa MAC le ofrece una garantía de 1.5 años.
Entonces:
X = representa elnúmero de años que dura una batería
µ = El promedio de duración de esta batería es de 2.5 años
Ơ = La desviación estándar de la duración de estas baterías, es decir la variabilidad de tiempo de duración de estas baterías es igual a 0.5 años
P(X<1.5) = 0.02 = 2%, es decir, la empresa MAC le debe cambiar a los clientes el 2% de las baterías de esta referencia por que no cumplen con la garantía.2. Calcular e interpretar la probabilidad de que una batería dure entre 2 y 3 años (cuando la variable es normal)
P(2≤X≤3) = P(X≤3) - P(X≤2) = 0.84 - 0.16 = 0.68, el 68% de las baterías producidas por la empresa MAC de esta referencia duran entre 2 y 3 años.
3. Si la empresa MAC el departamento de exportaciones va a exportar baterías a costa rica y el cliente de costa rica le exige...
De todas las distribuciones de probabilidad esta es la más importante de todas, porque se aplica en muchos campos como investigación de mercados, publicidad, ventas, costos, control de calidad, etc. La distribución normal trabaja con variables continuas en cambio la distribución binomial y la de Poisson trabajan con variables discretas. Cuando una variable es continuacalcular la probabilidad P(X≥5) = P(X>5) o la probabilidad P(X<5) = P(X≤5), esto se cumple por que la probabilidad de que P(X=5) = 0 por que la probabilidad para un valor cuando la variable es continua vale 0 en calculo integral equivale a integrar cualquier función entre limites iguales que vale 0.
La distribución normal tiene la siguiente representación gráfica:
Algunas propiedades de ladistribución normal son:
1. Es simétrica respecto de su media, μ;
2. Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x = μ + σ.
3. Distribución de probabilidad en un entorno de la media:
1. en el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución;
2. en el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución;
3.por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmenteen la normal estándar.
La distribución normal depende de dos parámetros: de la media aritmética de la población estadística que se representa por la letra del alfabeto griego Mu µ y de la desviación estándar de la población estadística que se representa por la letra del alfabeto griego Sigma Ơ
Ejemplo:
Si el costo de las matrículas de los estudiantes de pregrado por semestre de la sede de laurelesse distribuye normalmente y la matricula promedio por estudiante y por semestre es de 5.000.000 y la desviación estándar es de 1.000.000 y este semestre se matricularon en la sede de laureles en pregrado 13.500 estudiantes. Calcular cuántos estudiantes pagan una matrícula mayor a 4.000.000.
X = representa el costo de la matrícula de un estudiante por semestre
µ = El costo promedio de la matrículade un estudiante es 5.000.000
Ơ = la desviación estándar que en este ejemplo representa la variabilidad promedio del costo de la matricula por estudiante es de 1.000.000
P(X≥4.000.000) = 1 – P(X≤4.000.000) = 0.84134 * 13.500 = 11.358, se espera que 11.358 estudiantes el costo de la matricula este semestre fue mayor a 4.000.000
Ejercicio 2
La empre MAC, que produce baterías para vehículosproduce una referencia de batería que dura en promedio 2.5 años, con una desviación estándar de 0.5 años. La duración de las baterías se distribuye de forma normal, calcular e interpretar las siguientes probabilidades:
1. cuál será la probabilidad de que una batería no cumpla con la garantía, si para este tipo de baterías la empresa MAC le ofrece una garantía de 1.5 años.
Entonces:
X = representa elnúmero de años que dura una batería
µ = El promedio de duración de esta batería es de 2.5 años
Ơ = La desviación estándar de la duración de estas baterías, es decir la variabilidad de tiempo de duración de estas baterías es igual a 0.5 años
P(X<1.5) = 0.02 = 2%, es decir, la empresa MAC le debe cambiar a los clientes el 2% de las baterías de esta referencia por que no cumplen con la garantía.2. Calcular e interpretar la probabilidad de que una batería dure entre 2 y 3 años (cuando la variable es normal)
P(2≤X≤3) = P(X≤3) - P(X≤2) = 0.84 - 0.16 = 0.68, el 68% de las baterías producidas por la empresa MAC de esta referencia duran entre 2 y 3 años.
3. Si la empresa MAC el departamento de exportaciones va a exportar baterías a costa rica y el cliente de costa rica le exige...
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