LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON
 
Se trata de un modelo discreto, pero en el que el conjunto de valores con probabilidad no nula no es finito, sino numerable. Se dice que una variable aleatoria X siguela distribución de Poisson si su función de densidad viene dada por:

Como vemos, este modelo se caracteriza por un sólo parámetro λ, que debe ser positivo.

Esta distribución suele utilizarse paracontajes del tipo número de individuos por unidad de tiempo, de espacio, etc.
Propiedades del modelo de Poisson
1) Esperanza: E(X) = λ.
2) Varianza: V(X) = λ.
En esta distribución la esperanza y lavarianza coinciden.
3) La suma de dos variables aleatorias independientes con distribución de Poisson resulta en una nueva variable aleatoria, también con distribución de Poisson, de parámetro igual ala suma de parámetros:
X1 ~ P(λ = λ1)    y    X2 ~ P(λ = λ2)
y definimos Z = X1 + X2, entonces,
Z ~ P(λ = λ1 + λ2)
Este resultado se extiende inmediatamente al caso de n variables aleatoriasindependientes con distribución de Poisson. En este caso, la variable suma de todas ellas sigue una distribución de Poisson de parámetro igual a la suma de los parámetros.






LA DISTRIBUCIÓNHIPERGEOMÉTRICA

Este modelo presenta similitudes con el Binomial, pero sin la suposición de independencia de éste último. Veámoslo:
Partimos de un conjunto formado por N individuos divididos en dos categoríasmutuamente excluyentes: A y Ac; de manera que N1 individuos pertenecen a la categoría A y N2 individuos, a la categoría Ac. Por tanto, se cumple que
N = N1 + N2
Si del conjunto anterior extraemos nindividuos sin reemplazamiento (n ≤ N), la variable X que representa el número k de individuos que pertenecen a la categoría A (de los n extraídos) tiene por función de densidad:


La dependencia sedebe al hecho de que N es finito y las extracciones se efectúan sin reemplazamiento. El caso de extracciones con reemplazamiento sería equivalente al de N infinito y se resolvería mediante el modelo...