La divergencia

Teorema de la divergencia
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En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss o teorema deGauss-Ostrogradsky, es un teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie.
Es unresultado importante en física, sobre todo en electrostática y en dinámica de fluidos.
Enunciado [editar]
Sean [pic]y [pic]dos subconjuntos abiertos en [pic]donde [pic]es simplemente conexo y elborde de [pic], [pic]es una superficie regular o regular a trozos.
Sea [pic], un campo vectorial de clase [pic], es decir, [pic]cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.
Entonces:[pic]
donde el vector [pic]normal a la superficie apunta hacia el exterior del volumen [pic].
Este resultado es una consecuencia natural del Teorema de Stokes, el cual generaliza el Teorema fundamentaldel cálculo. El teorema fue enunciado por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1835, pero no fue publicado hasta 1867. Debido a la similitud matemática que tiene el campo eléctrico con otrasleyes físicas, el teorema de Gauss puede utilizarse en diferentes problemas de física gobernados por leyes inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, como la gravitación o laintensidad de la radiación. Este teorema recibe el nombre de ley de Gauss y constituye también la primera de las ecuaciones de Maxwell.
Ejemplo de aplicación [editar]
[pic]
[pic]
Esfera de radio 2.Calcular el flujo del campo vectorial [pic]a través de la superficie esférica [pic]
Resolución. A partir de la ecuación de la esfera se sabe que el radio es [pic]. Entonces:
[pic]
Aplicando el teoremade la divergencia tenemos:
[pic]

La prueba de la divergencia
Si [pic], en tal caso la serie [pic]es divergente.

Demostración
[pic]

Entonces como [pic]

[pic]

obtenemos que

[pic]...