La eclipse

6.2 Ejercicios Resueltos Sobre La Elipse

1. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos 
F(3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráficacon el eje x es el punto (5, 0). 
Solución: 
Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se tiene que,  y por tanto . 
 

 fig. 6.5.8.
De estaforma, los vértices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y 
V4(0, -4). Además, su ecuación viene dada por : 
 
2. Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por: 
25x2 +4y2 = 100 
Solución: 
La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes: 
x 2 + y 2= 1 (porqué?)  
4       25 
 
La última ecuación corresponde a una elipse centrada en elorigen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y. 
De otro lado, , de donde  y en consecuencia, los focos se encuentranlocalizados en los puntos y . 
Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0). 
La figura 6.5.9. recoge toda la información obtenida. 
 

 fig. 6.5.9.3. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación: 
4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0  
 
Solución: 
La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes:  
 (completación de cuadrado) 
 (factorización y simplificación) 
 
 (dividiendo por 4)  
  
 
Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes;
a =1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2 (ver fig. 6.5.10.). 
Los vértices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1). 
Como , se tiene quelos focos están localizados en los puntos  y . 
 

 fig. 6.5.10.
4. Propiedad Óptica de la Elipse 
En geometría plana se demuestra el siguiente resultado: Si se tiene un triángulo ABC y un...