la economia

Potencias, logaritmos y su relación

El producto de n factores iguales a a: n
a · a · ... · a, se llama potencia de base a y exponente n, donde a ð 0 ó n ð 0.
Es de suponer que no sea unaoperación conmutativa, ya que base y exponente cumplen funciones distintas. (La demostración queda conforme con sólo ver que 23 ð 32).
Algunas propiedades son: a0 = 1; 00 no tiene sentido.
El producto depotencias de igual base es una potencia de la misma base que tiene por exponente la suma de los exponentes.
n m n+m
an · am = a · a · ...· a · a · a · ...· a = a · a · ...· a = an+m
El productode potencias de igual e ponente es igual a una potencia del mismo exponente que tiene por base el producto de las bases.
n n n
an · bn = a · a · ...· a · b · b · ...· b = (a · b) · (a · b) ·...· (a· b) = (a · b)n
n n
(am)n = am · am · ...· am = am+m+m+...+m = amn
an : am = an - m
an : bn = (a : b)n
Es importante observar que la potenciación, como consecuencia de no tener propiedadconmutativa, da origen a dos operaciones inversas. Hemos de recordar que operaciones como la adición y la multiplicación ofrecen sólo una operación inversa, respectivamente la sustracción y la división,como consecuencia directa de la propiedad conmutativa.
En la potenciación observamos dos operaciones inversas que explicitan respectivamente la base y el exponente:
Radicación: Si b es potencia enésimade a podemos expresar la base como que a es la raíz enésima de b.
Logaritmación: n = loga b, es un número tal que an = b. Con a>0, b>0 y b ð 1.
Algunas de sus propiedades son:
Si c>0, es a logac=c
Si c>0 y c'>0, es: loga(c·c') = logac + logac'. En efecto, siendo c y c' positivos, se cumple:
c = a logac y c'= a logac' .·. c · c' = alogac · alogac = alogac + logac'
.·. loga(c · c') = logac+logac'.
Si c>o y c'>0, es: loga(c:c') = logac - logac'.
En este caso dividimos:
c : c' = alogac : alogac = alogac - logac'
Corolario: loga1/c = loga1 - logac y, como loga1 = 0, resulta: loga1/c...