La ecuación de calor

¿QUÉ ES?
La ecuación del calor es un modelo
matemático que describe la variación de
la temperatura en un cuerpo sólido.

¿CÓMOSURGIÓ…?
La ecuación del calor fue propuesta
por Fourier en 1807. Pues queria
saber cual era la difusión de calor
sobre un objeto en untiempo
determinado t.

Retrato de Joseph Fourier y la portada de su obra Théorie Analytique de la Chaleur (1822)

‘LA ECUACIÓN DECALOR’
𝝏𝒖
𝝏𝟐 𝒖
𝒙, 𝒕 = 𝒌 𝟐 𝒙, 𝒕 ,
𝝏𝒕
𝝏𝒙

𝒌 > 𝟎,

𝒖 𝒙, 𝒕 = 𝒖 𝑳, 𝒕 = 𝟎,
𝒖 𝒙, 𝟎 = 𝒇 𝒙 ,

𝟎 < 𝒙 < 𝑳,

𝒕 > 𝟎,
𝟎 < 𝒙 < 𝑳.

𝒕>𝟎SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL
1

2

3

4

5

6

Caso 1:
7

Caso 2:
8

Caso 3:
9

10

11

12

1314

2
𝐶𝑛 =
𝜋

𝜋

𝑓 𝑥 sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥
0

∴ 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒
∞
2 𝜋
2 𝑘𝑡
−𝑛
𝑢 𝑥, 𝑡 =
𝑓 𝑥 sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑒
sin 𝑛𝑥
𝜋 0
𝑛=1Ejemplo
 Una barra metálica de 100cm de longitud tiene los
extremos 𝑥 = 0 y 𝑥 = 100 mantenidas a 0°𝐶.
Inicialmente, la mitad de labarra está a 60°C,
mientras que la otra mitad está a 40°C. Asumiendo
una difusividad de 0.16 unidades CGS y que la
superficie de labarra está aislada, encuentre la
temperatura en toda parte de la barra al tiempo t.

Formulación Matemática
 La ecuación deconducción de calor es:
𝝏𝒖
𝝏𝟐 𝒖
= 𝟎. 𝟏𝟔 𝟐
𝝏𝒕
𝝏𝒙
Donde u(x,t) es la temperatura en el sitio x al tiempo t. Las
condiciones de frontera